Курс для учителей начальной школы о развитии логического мышления на уроках математики

Занятие 1. Содержание понятия «логическое мышление».

Мышление – высшая ступень человеческого познания; процесс познания окружающего реального мира, основу которого составляет образование и непрерывное пополнение запаса понятий, представлений; включает в себя вывод новых суждений (осуществление умозаключений).

Такой познавательный процесс, как мышление, типичен практически для каждого живого существа, но мыслить правильно способен только человек.

Как же понять выражение «правильно мыслить»? Это значит уметь анализировать, выстраивать непротиворечивые (корректные) логичные суждения, соблюдая причинно-следственные связи. Такая способность не даётся человеку с рождения, но она необходима, ведь без неё невозможно развитие и обучение.

В психологической науке мышление подразделяется на наглядно-действенное, конкретно-предметное, наглядно-образное и абстрактно-логическое. 

Для данного курса имеет приоритетное значение именно понятие абстрактно-логического мышления.

Абстрактно-логическое мышление можно считать высшей, но далеко не окончательной формой мышления. При работе над задачей оно позволяет человеку отделить существенные свойства объекта от несущественных, рассмотреть их по отдельности и получить абсолютно новый объект. При этом обобщаются данные, приобретённые чувственным путём.

Я. А. Коменский считал, что развивать логическое мышление лучше всего путём ознакомления обучающихся с краткими умозаключениями, обязательно применяя наглядность. Умозаключения должны быть связаны с жизненным опытом ребёнка – только тогда они будут для него понятны.

Г. Песталоцци и К. Д. Ушинский также выступали за наглядное обучение. Сравнение, анализ, построение высказываний должны происходить на конкретных примерах, нестандартных задачах – утверждали они. Развитие логического мышления должно стать основной задачей обучения в начальной школе, поскольку логика – одна из самых важных наук, помогающих сформировать всесторонне развитую личность.

В. А. Оганесян утверждал, что логическое мышление позволяет рассмотреть изучаемый объект в целом, не учитывая его конкретных свойств. Он считал, что логическое мышление входит в состав абстрактного и позволяет человеку делать выводы, устанавливать причины и следствия того или иного явления, заранее предвидеть итоги и т.д.

Определение логического мышления по О. К. Тихомирову: 

«Это один из видов мышления, характеризующийся использованием понятий, логических конструкций, выполняющих свои функции на основе языковых средств и языка в целом. Развёрнутость во времени и наличие чётко выраженных этапов являются главными его показателями». 

Чтобы изучить, каким образом происходит и чем обусловлен процесс логического мышления, исследователю необходимо проанализировать сам ход мышления, который, по мнению психолога, включает в себя цель, условия, поиск, развёрнутый во времени, и результат. Тихомиров отмечает, что логическое мышление – информационный процесс, включающий в себя такие ключевые элементы, как определённость условий задачи, логика проверяемых признаков и информативность поисковых фактов.

Логическое мышление, по мнению Л. А. Венгера, – это путь, который проделывает человек, решая какую-либо задачу. Решение это осуществляется на основе прошлого опыта, который оформляется сначала в понятия, затем в умозаключения.

П. Г. Лубочников считал, что при помощи анализа, синтеза, построения логических конструкций и т.д. в мышлении возникают образы. В результате оперирования ими у человека формируется образно-логическое мышление, которое впоследствии переходит в абстрактно-логическое.

Основываясь на определениях вышеприведенных авторов, можно проследить два этапа развития логического мышления: 

• первый этап – когда все мыслительные операции выполняются на основе визуализаций, материальных объектов. На данной стадии все явления действительности должны быть тесно связаны с жизненным опытом ребёнка. Необходимо использовать конкретные действия, представления, примеры, понятия, ведь они лежат в основе мыслительных операций. 
• На втором этапе человек способен мыслить в общих чертах. Младшие школьники начинают логично рассуждать, обосновывать свои рассуждения. У них постепенно формируется способность корректировать свои аргументы, доказывать свою правоту. Они учатся использовать мыслительные операции в новых, ранее не известных условиях.

Занятие 2. Структура логического мышления и условия его формирования 

Структура логического мышления включает в себя следующие компоненты: 

1. Мотивационно-целевой компонент – развитие логического мышления не может осуществляться без внутренних мотивов;
2. Содержательный компонент – это результаты учебной деятельности, которые зависят от многих факторов: глубины знаний, объёма, последовательности, практических умений и навыков.
3. Операционально-функциональный компонент – это способы, приёмы, операции, необходимые для решения поставленных задач;
4. Рефлексивный компонент – это контроль процесса мышления, осуществляемый личностью.

Из вышесказанного следует: результаты в развитии логического мышления  будут высокими только в том случае, если с обучающимися будет вестись целенаправленная, систематическая работа, направленная на совершенствование всех этих компонентов.

Кроме того, существуют специальные психолого-педагогические условия, которые необходимо учитывать при обучении младших школьников: 

• во-первых, необходимо учитывать длительность процесса развития мышления, реализовывать его на каждом занятии; 
• во-вторых, нужно мотивировать учеников к осуществлению данного процесса, сделать так, чтобы он приобрёл личностную ценность для каждого;
• в-третьих, материал должен подаваться небольшими порциями, в строгой последовательности;
• в четвертых, ученикам должны даваться понятия о самих логических законах, приёмах.

Занятие 3. Особенности развития логического мышления у младших школьников 

По мере обучения в школе дети начинают мыслить более произвольно, их мышление становится более программируемым, более сознательным, более планируемым. В младшем школьном возрасте начинает интенсивно развиваться третий вид мышления – слoвесно–логическое, отвлеченное мышление. 

Младший школьный возраст Л.С. Выготский называл сензитивным периодом для развития понятийного мышления. Обучение в школе, согласно мысли Выготского, выдвигaeт мышление в центр сознательной деятельности ребёнка.

Учащиеся I-II классов зачастую судят о предметах и ситуациях весьма односторонне, схватывая какой-либо единичный внешний признак. Умозаключения опираются на наглядные предпосылки, данные в восприятии. Обоснование вывода осуществляется не на основе логических аргументов, а путём прямого соотнесения суждения с воспринимаемыми сведениями. Обобщения, выполняемые детьми на этой стадии, происходят под сильным «давлением» броских признаков предметов (к таким признакам относятся утилитарные и функциональные). Большинство обобщений фиксирует конкретно воспринимаемые признaки и свойства, лежащие на поверхности предметов и явлений. На основе систематической учебнoй дeятельнoсти к III классу характер мышления младших школьников изменяется. Формируются навыки анализа.

Дети этого возраста начинают выделять существенные связи и отношения при оперировании не только реальными вещами, но и их образами. Под влиянием рефлексии учащиеся овладевают словесно-логическим мышлением: опираясь на внутренние основания своих действий, они могут оперировать общим способом при решении внешне различных задач. Развитие навыков анализа идет от практически действенного к чувственному и в дальнейшем к умственному. У младших школьников преобладающим является практически действенный и чувственный анализ. 

Поскольку анализ тесно взаимосвязан с синтезом (они совершаются в единстве), развитие анализа также протекает одновременно с развитием синтеза: от простого, суммирующего, к более широкому и сложному.

Аналитическая деятельность младших школьников развивается в направлении от анализа отдельного предмета, явления к анализу связей и отношений между предметами и явлениями.

Таким образом, говоря об особенностях мышления младшего школьника и опираясь на всё указанное выше, можно сделать следующие выводы:

1. Особенности логического мышления младших школьников проявляются и в самом протекании мыслительного процесса, и в каждой его отдельной операции (сравнении, классификации, обобщении, совершающихся в разных формах суждения и умозаключения).
2. Для мышления младших школьников характерно однолинейное сравнение (они устанавливают либо только различие, либо только сходное и общее).
3. Детям 7-10 лет доступны логические суждения, оперирования понятиями, переходы к обобщениям и выводам.

Формирование приемов логического мышления у детей младшего школьного возраста, по мнению Вергелес Г. И., – одна из основных задач обучения в начальном курсе математики. Многочисленные наблюдения педагогов, таких как, например, Зак А. З.,  показали, что ребёнок, не научившийся учиться, не овладевший приёмами произвольной мыслительной деятельности в начальной школе, в средних классах, обычно переходит в разряд неуспевающих. Также согласно Федеральному Государственному образовательному стандарту второго поколения дети должны овладеть логическими действиями сравнения, анализа, обобщения, классификации по родовым признакам, установлением аналогии причинно-следственных связей, построением рассуждений.

Иными словами, к концу начальной школы ученики должны овладеть основами логического и алгоритмического мышления. 

Хотя логическое мышление развивается на материале всех предметов начальной школы, традиционно повышенное внимание этому процессу уделяется на уроках математики. Существуют различные средства, направленные на развитие логического мышления: конструирование, математические игры, занимательные упражнения и т.д. Особое место в данном ряду занимают логические задачи.

Занятие 4. Решение логических задач 

Мышление человека главным образом состоит из постановки и решения задач. Выделение логических задач носит до некоторой степени условный характер, т.к. трудно определить, какую задачу следует назвать логической. 

Задачи логического содержания, решение которых опирается не на вычисления, а на рассуждения, требуют построения цепочки точных логичных рассуждений с правильными промежуточными и итоговыми умозаключениями.

Л. М. Лихтарников писал: «Решение задачи требует не угадывания, а размышления, рассуждения, оперирования знаниями по логическим правилам, которые подходят для раскрытия отношений между любыми предметами». 

Логические задачи от обычных задач отличаются тем, что не требуют вычислений, а решаются с помощью рассуждений. Вопросом логических задач занимались многие методисты, учёные, педагоги, среди которых А. З. Зак, В. П. Труднев, Л. М. Лихтарников, С. Ю. Афонькин и многие другие.

Определяя понятие «логические задачи», В. П. Труднев утверждает, что логические упражнения не требуют сложных вычислений, а иногда и вычислений вообще, но каждое из упражнений вынуждает производить сравнения, делать выводы, заставляет мыслить правильно, то есть последовательно, доказательно. Его классификация логических задач базируется на тех операциях, которые нужно выполнить, чтобы  решить задачу. 

Виды логических задач по В. П. Трудневу: 

1. Установление соответствий.
2. Упорядочение множества.
3. Числовые ребусы

А. З. Зак считает, что логическое мышление – это мышление по правилам. Он выделяет следующие виды логических задач:

1. Связь предмета и признака.
2. Игра с суждением, где говорится об изменениях.
3. Игра с суждением, в котором говорится о родстве.
4. Игра с суждением, в котором сравнивают объекты по возрасту.
5. Сравнение: «и», «или».
6. Сравнение количества «Столько же, сколько…».
7. Суждения, исключающие друг друга.

Л. М. Лихтарников даёт такую характеристику логической задачи:

1. Для решения логической задачи не требуется большого запаса математических знаний – можно ограничиться только некоторыми сведениями из арифметики;
2. Логические задачи носят занимательный характер. Их решение развивает логическое мышление.

В своей классификации логических задач Л. М.Лихтарников опирается на способ решения (т.е решение задач сводится к использованию определённых приёмов) и выделяет следующие виды задач:

1. Задачи о переправах.
2. Сообрази и посчитай.
3. Волшебное зеркало мага.
4. Где же правда?
5. Установим соответствие между элементами различных множеств – решим задачу.
6. Упорядочим множество – решим задачу.
7. Можно ли обыграть противника? А если можно, то как это сделать?
8. Определи победителя турнира.
9. Числовые ребусы.

Для решения задач определённого вида учащиеся пользуются определённым приёмом решения:

• путём подбора вариантов;
• путём логических рассуждений для определения полных данных;
• путём установления соответствий между элементами разных множеств;
• путём нахождения цепочки логических рассуждений, позволяющих в итоге с помощью простых арифметических вычислений дать ответ на вопросы задачи и др.

Главный критерий для систематизации – приём, используемый при решении.

Кроме представленных можно предложить систематизацию по средствам, помогающим решить задачу, в частности, можно выделить графические средства решения подобных задач:

1. Задачи, решаемые с помощью таблиц; 
2. Задачи, решаемые с помощью графов;
3. Задачи, решаемые с помощью чертежей;
4. Задачи, решаемые с помощью рисунка.

Занятие 5. Система работы педагога над развитием логического мышления младших школьников на уроке математики 

Система работы по развитию логического мышления включает следующие направления:

• работа с заданиями, непосредственно направленными на развитие логических операций: анализ, синтез, сравнение, классификация, абстрагирование, обобщение, конкретизация;
• работа с заданиями занимательного характера: ребусы, головоломки, лабиринты, задачи-шутки и т.п.;
• работа с нестандартными и логическими задачами.

Внутри системы логических операций существует строго определённая последовательность. Поэтому работу с заданиями, формирующими логические операции, следует начинать с первого класса и вести на протяжении всего периода обучения в начальной школе. Задания необходимо включать в каждый урок математики, связывая с темой учебного занятия, затем постепенно усложнять содержание заданий, делать их более разнообразными по форме, увеличивать объём заданий.

Начинать лучше с заданий, направленных на развитие логических операций: анализа, синтеза и сравнения. Анализ и синтез тесно взаимосвязаны между собой — на них основывается операция сравнения. Эти действия служат фундаментом для последующих логических операций. Кроме того, большая часть учебного материала по математике в начальной школе построена на сравнении.

Задания по развитию операции анализа 

Задания по развитию операции анализа сводятся к поиску ответов на вопросы: «Из каких частей состоит объект?», «Как выглядит объект с разных точек зрения?». Используются следующие упражнения: 

• «Какая фигура лишняя?»;
• «Сколько треугольников (квадратов и т. д.)?»;
• «Назови три признака фигуры»;
• «Расскажи всё, что знаешь о числе 672?»;
• «Укажи признаки чисел 3, 35, 356»; 
• «Представь число 15 в виде суммы одинаковых слагаемых»;
• «Назови уменьшаемое и вычитаемое в выражениях: 23 – 7, (64 – 13) – 10, (23 + 8) – (12 – 3)» и др.

Задание по развитию операций синтеза 

В ходе выполнения заданий по развитию операции синтеза идёт поиск ответа на вопрос «Как составить целое из предложенных элементов?», поэтому здесь можно применить упражнения типа: 

• «Составь и реши задачу по рисунку или по краткой (схематической) записи»;
• «Назови предмет по признакам: имеет 3 стороны и 3 угла»;
• «Вставь пропущенные числа»;
• «Составь числовые выражения (уравнения), используя числа» и др.

Задания по развитию операций сравнения 

Выполняя задания по развитию операции сравнения, учащиеся ищут ответы на вопросы «Чем похожи объекты?», «Чем они отличаются?». Для этого в урок можно включить задания: 

• «Чем похожи и чем отличаются числа (выражения, фигуры)?»;
• «Установи закономерность и продолжи ряд чисел»;
• «Сравни и реши задачи» и др.  

Задачи по развитию операций классификации 

За операцией сравнения следует операция классификации, поэтому необходимо постепенно начинать работу в данном направлении. Упражнения по развитию операции классификации сводятся к поиску ответов на вопросы «На какие группы можно разделить предметы?», «Какой предмет может быть лишним?». В связи с этим в ходе урока можно рассмотреть такие виды упражнений: 

• «Раздели на две группы числа (фигуры)»;
• «Подчеркни однозначные числа простым карандашом, двузначные числа – ручкой: 1, 99, 9, 45, 12, 543, 3, 840. Что не подчеркнули? Почему?»;
• «Среди чисел от 1 до 50 назови те, которые делятся на 5, делятся на 10, делятся на 5 и 10, не делятся на 5»;
• «Какое значение величины лишнее: 56 дм, 43 км, 58 кг, 290 см, 10 м?»;
• «Найди лишнее выражение: 3 + 4; 24 + 6; 8 – 2; 0 + 15»;
• «На какие две группы можно разделить числовые выражения (уравнения)?» и др.

Задачи по развитию операции абстрагирования и обобщения 

Без сравнения невозможно абстрагирование, а операция абстрагирования лежит в основе обобщения. Поэтому, продолжая работу над формированием логических операций, сначала следует дать задания, направленные на развитие логической операции абстрагирования, а потом обобщения. Упражнения по развитию операции абстрагирования сводятся к поиску ответа на вопросы «Какие признаки предмета важные (существенные)?», «Какие несущественные?». Упражнения по развитию операции обобщения – к поиску ответа на вопросы «Чем похожи все эти предметы?», «Как их можно назвать одним словом?». 

Упражнения, применяемые для развития абстрагирования – это в первую очередь задания на составление кратких (схематических) записей задач, составление равенств по рисунку, а также задания вида «Выбери главные признаки». Например: треугольник (сторона, площадь, угол, чертёж), «Назови общие признаки чисел: 30 и 50, 45 и 5, 768 и 564» и т.п.

Для развития операции обобщения можно использовать упражнения: 

• «Сравни значения выражений. Сделай вывод. Выбери буквенное выражение, которое соответствует выводу»;
• «Назови одним словом группу чисел (фигур, предметов, знаков). Найди лишнее»;
• «Найди закономерность и продолжи ряд чисел»;
• «Дать общее название группе понятий» и др.

Задачи по развитию операции конкретизации

Завершающей логической операцией является конкретизация. Она является обратной абстрагированию. Упражнения по развитию конкретизации сводятся к поиску ответа на вопрос: «Какой конкретный пример можно привести?». Можно применить следующие задания: 

• «Составь задачу по краткому условию (по чертежу, по готовому решению)»;
• «Выбери рисунки, которые соответствуют равенству: а + в = в + а»;
• «Выбери числовые выражения, соответствующие буквенному выражению а ⋅ (с + у)»;
• «Сколько на рисунке прямых, ломанных, отрезков?» и т. п. 

Задания по развитию мыслительных операций можно включать на любом этапе учебного занятия.

Использование занимательных заданий 

Эффективное развитие мыслительных операций невозможно без использования занимательных заданий: ребусов, головоломок, задач-шуток и т.п. Они направлены на развитие практически всех логических операций. Работу с такими заданиями также следует начинать с первого класса, продолжая в последующих. Лучше всего включать их на этапе устного счёта, этапе закрепления, а также для снятия эмоционального напряжения на уроке. Задания такого вида интересны по содержанию, нестандартны по формулировке, занимательны по форме, имеют необычное, порой довольно простое, решение.

Логическая пятиминутка 

Особенно нравится учащимися такой вид работы, как «Логическая пятиминутка», куда и можно включить занимательные задания. Такие задания, как правило, не занимают много времени, а польза от них огромная. Этот вид работы не даёт скучать сильным ученикам, а более слабые учащиеся имеют возможность проявить себя.

Наиболее эффективными являются следующие задания: 

• «Как записать число… одинаковыми числами, соединив их знаками действий?»;
• «Магический квадрат» и его разновидности;
• «Сколько … чисел можно составить из цифр … при условии, что цифры в числе не повторяются?»;
• «Как с помощью … одинаковых палочек сложить … (квадрата (ов), треугольника (ов))?»;
• «Убери … палочки так, чтобы остался … треугольник (квадрат)»;
• «Какие цифры скрыты за звёздочками *** – 1 = **?»;
• «Реши числовые ребусы»;
• «В ряду чисел … поставь знаки действий так, чтобы получить число …»;
• различные виды головоломок, задачи-шутки. 

Занятие 6. Различные формы работы над нестандартной задачей как способ развития логического мышления 

Нестандартные и логические задачи – это задачи, алгоритм решения которых учащимися неизвестен. Необходимый поиск решения требует работы всех логических операций и способствует интенсивному их развитию. Работу над решением такого вида задач лучше начинать вести систематически с первого класса, постепенно их усложняя. Задачи подбираются так, чтобы они были посильными для учащихся, иначе, не разобравшись в решении, учащиеся могут потерять веру в свои силы. При решении таких задач учащимся предоставляется возможность самим вести поиск решения, даже если оно ошибочно. 

Конечно, некоторым способам, приёмам, общим подходам к решению арифметических нестандартных задач необходимо научить.

Например: «На двух полках вместе 42 книги, причём на второй полке на 12 книг больше, чем на первой. Сколько книг на каждой полке?»

1) 42 – 12 = 30 (кн.) – две равные части

2) 30 : 2 = 15 (кн.) – одна равная часть или на второй полке

3) 15 + 12 = 27 (кн.) – на первой полке

Ответ: 27 книг, 15 книг.

Наиболее эффективным при работе над нестандартными задачами считается

применение следующих видов деятельности:

1. Работа над решённой задачей.  
2. Правильно организованный способ анализа задачи (с вопроса или от вопроса).
3. Представление ситуации, описанной в задаче, с последующим её моделированием (чертёж, рисунок, графы, таблица).
4. Самостоятельно завершить начатое решение задачи.
5. Составление и решение аналогичной задачи с измененными данными.
6. Изменение вопроса задачи.
7. Решение задачи различными способами.
8. Составление выражений по задаче.
9. Решение задач с недостающими или лишними данными.
10. Самостоятельное составление задач учащимися. 
11. Использование приёма сравнения задач и их решений. 
12. Сравнение верного и неверного решения задачи.

Чаще всего работа над нестандартными и логическими задачами проводится на уроках закрепления и обобщения изученного, ведь работа над ними занимает достаточно много времени. Однако такие задачи можно решать и при объяснении нового материала. При отборе задач руководствуются темой, целью, задачами и содержанием урока.