Курс для учителей математики «Вероятность и статистика» в школьном курсе математики

Модуль 1. Теоретические аспекты реализации вероятностно-статистической линии в условиях обновленных ФГОС

Занятие 1. Роль и место вероятностно-статистической линии в школьном курсе математики

Роль вероятности и статистики в современном профессиональном образовании

Внедрение в школьное обучение статистики и теории вероятностей имеет большое значение. Значимость обучения стохастической линии определяется обширным внедрением прикладной математики в различные сферы деятельности человека. Возрастает число профессий, при овладении которыми требуется хорошая базовая подготовка в области вероятности и статистики. Методы и результаты стохастики используются не только в естественных и технических науках, но и в таких науках, как экономика, демография, социология, археология, лингвистика и многих других.

Каждый человек постоянно принимает решения на основе имеющихся у него данных. А для обоснованного принятия решения в условиях недостатка или избытка информации необходимо и хорошо сформированное вероятностное и статистическое мышление. Именно поэтому остро встал вопрос о необходимости сформировать у обучающихся функциональную грамотность, включающую в себя в качестве неотъемлемых составляющих:

• • умение воспринимать и критически анализировать информацию, представленную в различных формах;
  • понимать вероятностный характер многих реальных процессов и зависимостей;
  • производить простейшие вероятностные расчеты.

Знакомство с основными принципами сбора, анализа и представления данных из различных сфер жизни общества и государства приобщает обучающихся к общественным интересам. Изучение основ комбинаторики развивает навыки организации перебора и подсчета числа вариантов, в том числе в прикладных задачах. Знакомство с основами теории графов создает математический фундамент для формирования компетенций в области информатики и цифровых технологий. При изучении статистики и вероятности обогащаются представления обучающихся о современной картине мира и методах его исследования, формируется понимание роли статистики как источника социально значимой информации и закладываются основы вероятностного мышления.

Место вероятностно-статистической линии в школьном курсе математики

В соответствии с обновленным федеральным государственным образовательным стандартом учебный курс «Вероятность и статистика» в рамках учебного предмета «Математика» является обязательным компонентом школьного образования, усиливающим его прикладное и практическое значение. Этот материал необходим для формирования у обучающихся функциональной грамотности.

Основное общее образование

В структуре программы учебного курса «Вероятность и статистика» основного общего образования выделены следующие содержательно-методические линии:

• • «Представление данных и описательная статистика»;
  • «Вероятность»;
  • «Элементы комбинаторики»;
  • «Введение в теорию графов».

Содержание линии «Представление данных и описательная статистика» служит основой для формирования навыков работы с информацией: от чтения и интерпретации информации, представленной в таблицах, на диаграммах и графиках, до сбора, представления и анализа данных с использованием статистических характеристик средних и рассеивания. Работая с данными, школьники учатся считывать и интерпретировать их, выдвигать, аргументировать и критиковать простейшие гипотезы, размышлять над факторами, вызывающими изменчивость, и оценивать их влияние на рассматриваемые величины и процессы. Интуитивное представление о случайной изменчивости, исследование закономерностей и тенденций становится мотивирующей основой для изучения теории вероятностей. Большое значение имеют практические задания, в частности опыты с классическими вероятностными моделями.

Понятие вероятности вводится как мера правдоподобия случайного события. При изучении учебного курса обучающиеся знакомятся с простейшими методами вычисления вероятностей в случайных экспериментах с равновозможными элементарными исходами, с вероятностными законами, позволяющими ставить и решать более сложные задачи. В учебный курс входят начальные представления о случайных величинах и их числовых характеристиках.

В рамках учебного курса осуществляется знакомство обучающихся с множествами и основными операциями над множествами, рассматриваются примеры их применения для решения задач, а также использования в других математических курсах и учебных предметах.

Изучение элементов комбинаторики, статистики и теории вероятностей целесообразно начать в 5-6 классах. Пропедевтика изучения учебного материала курса в 5-6 классах значительно упрощает восприятие этой темы уже на более высоком в теоретическом смысле уровне в 9 классе. Возраст 10-12 лет, в целом являющийся существенным этапом интеллектуального развития ребенка, играет ключевую роль в формировании основ вероятностной интуиции и статистических представлений. На этом этапе формируются представления ребенка о случайном, о характерных особенностях случайных процессов, о возможности и в то же время ограниченности прогнозов, об особенностях выводов статистического характера, о справедливых и несправедливых играх. Именно на этом  этапе  закономерно выделение вероятностно-статистического материала в отдельную линию курса математики, органично связанную с другими темами курса, такими как проценты, отношения, простые и десятичные дроби и т. д.

В качестве общих целей изучения материала на начальном, пропедевтическом уровне в 5-6 классах можно назвать:

1. Формирование представлений о:

• • различиях между детерминированными и стохастическими процессами и явлениями;
  • целях и примерах сбора и использования статистических данных.

2. Знакомство учащихся с:

• • приемами решения комбинаторных задач методом непосредственного перебора всех возможных вариантов;
  • простейшими вероятностными ситуациями и статистическими явлениями, их свойствами и особенностями.

Акцент на решение задач качественного характера, непосредственное проведение серий экспериментов со случайными исходами, опора на личный опыт и круг повседневных интересов ученика, на возможный «справедливый» и «несправедливый» характер игры, на реальные статистические данные в сфере интересов ребенка (спорт, досуг и пр.) дают уникальную для предмета «Математика» возможность построить «мостик» между тем, что происходит на уроке, и тем, что происходит за стенами школы. Это создает устойчивую мотивацию для изучения теоретического стохастического материала, вводит его в круг интересов ученика.

В 7-9 классах изучается учебный курс «Вероятность и статистика», в который входят разделы:

• • «Представление данных и описательная статистика»;
  • «Вероятность»;
  • «Элементы комбинаторики»;
  • «Введение в теорию графов».

Курс 7-9 классов характеризуется переходом от этапа формирования стохастических представлений на качественном уровне к этапу постепенной формализации, «математизации» понятий, к формированию соответствующих этому этапу знаний и умений. В качестве основных целей изучения стохастики в 7-9 классах можно назвать:

1. Формирование представлений о:

• • закономерностях в случайных процессах и возможности их количественной оценки;
  • методах изучения статистических закономерностей реального мира.

2. Формирование навыков:

• • вычисления вероятности события в простейших ситуациях при статистическом и классическом подходе;
  • анализа данных, сбора, обработки и интерпретации статистической информации.

При изучении материала в 7-9 классах усиливается взаимосвязь и взаимовлияние трех составляющих стохастической линии – комбинаторной, вероятностной и статистической. Одновременно усиливается строгость и математическая содержательность изложения материала, акцент делается на построение соответствующей математической модели.

Возраст учащихся позволяет постепенно менять задания игрового характера на работу с реально значимой статистической и социологической информацией с ориентацией на содержательную и практически значимую интерпретацию результатов. Происходит переход от заданий, связанных с изучением отдельных статистических характеристик, к несложным комплексным статистическим исследованиям, содержащим все компоненты – от сбора информации с выбором адекватных методов представления и обработки данных до содержательных выводов и прогнозирования. Уже не игровой аспект, а практическая значимость материала становится главной мотивацией учащегося при его изучении.

Усиливаются возможности использования компьютерных технологий. Переход от апостериорной к априорной вероятности, нахождение вероятностей в классической схеме с использованием соответствующих комбинаторных соображений, а также геометрических     вероятностей позволяет усилить формально-математическую составляющую, что дает возможность подготовки к изучению линии на следующей ступени – в старших классах, а также дает возможность начать подготовку к профильному обучению.

Среднее общее образование

Учебный курс «Вероятность и статистика» базового уровня – продолжение и развитие одноименного учебного курса базового уровня основного общего образования. Учебный курс предназначен для формирования у обучающихся статистической культуры и понимания роли теории вероятностей как математического инструмента для изучения случайных событий, величин и процессов. При изучении учебного курса обогащаются представления обучающихся о методах исследования изменчивого мира, развивается понимание значимости и общности математических методов познания как неотъемлемой части современного естественно-научного мировоззрения.

Содержание учебного курса направлено на закрепление знаний, полученных при изучении курса на уровне основного общего образования, и на развитие представлений о случайных величинах и взаимосвязях между ними на важных примерах, сюжеты которых почерпнуты из окружающего мира. В результате у обучающихся должно сформироваться представление о наиболее употребительных и общих математических моделях, используемых для описания антропометрических и демографических величин, погрешностей в различного рода измерениях, длительности безотказной работы технических устройств, характеристик массовых явлений и процессов в обществе.

В структуре учебного курса «Вероятность и статистика» для уровня среднего общего образования на базовом уровне выделены следующие основные содержательные линии:

• • «Случайные события и вероятности»;
  • «Случайные величины и закон больших чисел».

Важную часть учебного курса занимает изучение геометрического и биномиального распределений и знакомство с их непрерывными аналогами – показательным и нормальным распределениями.

Содержание линии «Случайные события и вероятности» служит основой для формирования представлений о распределении вероятностей между значениями случайных величин, а также эта линия необходима как база для изучения закона больших чисел – фундаментального закона, действующего в природе и обществе и имеющего математическую формализацию. Сам закон больших чисел предлагается в ознакомительной форме с минимальным использованием математического формализма. Темы, связанные с непрерывными случайными величинами, акцентируют внимание обучающихся на описании и изучении случайных явлений с помощью непрерывных функций. Основное внимание уделяется показательному и нормальному распределениям, при этом предполагается ознакомительное изучение материала без доказательств применяемых фактов.

Дополнительные материалы к занятию

• Федеральная рабочая программа основного общего образования «Математика» для 5-9 классов образовательных организаций (базовый уровень).
• Федеральная рабочая программа среднего общего образования «Математика» для 10-11 классов образовательных организаций (базовый уровень).
• Вероятность и статистика: готовимся к новому учебному году, составляем рабочую программу.

Занятие 2. Принципы построения вероятностно-статистической линии в курсе математики

Принцип обеспечения общеобразовательной направленности стохастической линии

Этот принцип своего рода центральный, определяющий и подчиняющий себе все последующие. Он предполагает включение в основную школу вопросов, имеющих безусловную общеобразовательную значимость, рассчитанных на обязательное изучение всеми обучающимися и обеспечивающих их вероятностно-статистическую грамотность, а также достаточных для изучения предметов естественно-научного и социально-экономического циклов на современном уровне. В самой общей трактовке он означает внимание не столько к теоретическим основам вероятности и статистики, сколько к формированию широкого круга представлений без излишней формализации, овладению соответствующим тезаурусом, терминами и символическими обозначениями, к практическим приложениям. Общеобразовательная направленность предполагает также внимание к знаниям культурологического характера, которые включают в себя, в частности, раскрытие исторических истоков возникновения научной области и роли отечественной науки.

Принцип приоритета мировоззренческого и прикладного аспектов

В соответствии с этим принципом вероятностно-статистические представления должны стать неотъемлемой составляющей формируемой в сознании учащихся научной картины мира и обеспечивать понимание ими универсальности стохастических закономерностей, возможности приложения стохастических моделей к разнообразным процессам в природе и обществе.

Этот принцип предполагает:

• • превалирование идейной стороны рассматриваемых вопросов над технической стороной;
  • раскрытие связи изучаемого материала с действительностью;
  • знакомство с методами этой научной области;
  • демонстрацию возможностей применения полученных знаний;
  • насыщение учебного материала жизненными ситуациями.

Принцип разумной достаточности содержания

С введением вероятностно-статистической линии в школьное математическое образование в традиционный курс включается принципиально новое для школы содержание, опыта преподавания которого, в сущности, нет. Если предстоящее внедрение вопросов стохастики окажется неудачным, то это отбросит школу далеко назад и надолго выведет её из процессов интеграции в области образования. Поэтому внедрение должно быть поэтапным. На первом этапе внедрения элементов стохастики модернизация содержания образования должна происходить с большой осторожностью. Заботясь об определенной завершенности содержания и достаточности круга рассматриваемых вопросов, необходимо в то же время стремиться к максимально возможной его минимизации и безусловной доступности, имея в виду, что по мере накопления опыта это содержание может быть уточнено, откорректировано и расширено.

Принцип социализации и адаптации учащихся к реальной жизни

Этот принцип  предполагает  формирование  личности,  готовой  жить  и работать в сложном постоянно меняющемся мире, способной извлекать, анализировать и обрабатывать информацию, ориентироваться и принимать обоснованные решения в вероятностных ситуациях.

Для этого необходимы:

• • насыщение учебных материалов реальными жизненными ситуациями;
  • опора на собственный жизненный опыт 10-15-летних учащихся;
  • апелляция к здравому смыслу.

Это тем более важно, т. к. вероятностно-статистические представления нужны современному подростку не только как элемент подготовки к полноценному существованию и функционированию в будущей «взрослой» жизни. Подросток не отделен от этого мира глухой стеной, в своей жизни он ежедневно сталкивается с вероятностными ситуациями.

Игра и азарт составляют существенную часть жизни ребенка. Круг вопросов, связанных с осознанием соотношения понятий «вероятность» и «достоверность», проблема выбора наилучшего из нескольких вариантов решения, оценка степени риска и шансов на успех, представление о справедливости и несправедливости в играх и в реальных жизненных коллизиях – всё это, несомненно, находится в сфере реальных интересов становления личности взрослеющего человека. Это означает, что, приступая к изложению вероятностно-статистического материала, необходимо учитывать сложившиеся у учащихся интуитивные представления о случайном, которые зачастую могут быть неверными. Обучение окажется эффективным лишь в том случае, если жизненный опыт учащихся в этой области будет постоянно учитываться и соответствующим образом корректироваться. С этой точки зрения было бы методически неверным изначальное предъявление учащимся готовых формализованных вероятностно-статистических понятий и соответствующего аппарата, так как они не будут адекватным образом коррелировать с содержательными представлениями ребенка и попросту останутся мертвым грузом.

Принцип возрастной сензитивности

В соответствии с этим принципом систематическое и целенаправленное введение элементов теории вероятностей и статистики следует отнести к основной школе. При этом начальные базовые понятия, такие как случайное событие, сравнение шансов наступления событий, анализ тенденций в небольших по объему выборках и т. д., целесообразно вводить уже в 5-6 классах, то есть в возрасте 10-12 лет. Этот же возраст благоприятен для развития комбинаторного мышления.

Более раннее, как и более позднее, начало изучения вероятностно-статистического материала            оказывается малоэффективным, хотя и по разным причинам. В начальной школе еще многое в представлениях ребенка о мире недостаточно сформировано и, кроме того, у него отсутствуют опорные математические знания. А дети старше 12-13 лет, несмотря на более развитое логическое и абстрактное мышление и более широкую математическую подготовку, испытывают определенную настороженность к кругу явлений, основанных на случайности, поскольку в этом возрасте детерминированное мышление преобладает и довлеет, подкрепленное всем образовательным багажом. Одновременно у подростков к этому периоду зачастую оказываются уже сформированными на бытовом уровне многие труднопреодолимые вероятностные предрассудки и ошибки.

Принцип распределенности при структурировании элементов содержания

Овладение даже базовыми вероятностными и статистическими понятиями сопряжено с объективными трудностями математического и философского характера. Поэтому формирование вероятностно-статистических понятий должно занимать достаточно длительное время. Более того, это формирование, в сущности, должно происходить на протяжении всех лет обучения в средней школе.

В основной школе элементы вероятности и статистики должны быть распределены между всеми классами – с 5-го по 9-й – с учетом возрастных возможностей учащихся. Абсолютно неприемлемо концентрированное изложение содержания в рамках одной-двух тем.

Принцип методической устойчивости

Как показывает практика преподавания, фрагменты содержания, не вписанные органично в общий курс математики, представляющие собой некоторый «довесок» к программе, оказываются неустойчивыми и достаточно быстро школой отторгаются. «Методическая устойчивость» вероятностно-статистического материала может быть достигнута лишь при его органичном включении в традиционное содержание школьного курса, что предполагает его равноправность и равнозначность с традиционными темами, обеспечение развитых внутрипредметных и межпредметных связей. При этом новый материал войдет в общий курс, только если будет произведена соответствующая трансформация других разделов, адекватная современным целям школьного математического образования, а именно: усилены практические и прикладные аспекты при изложении традиционных вопросов, обогащены методы обучения за счет использования современных форм, присущих стохастике (наблюдения, эксперимента и других).

Занятие 3.  Подходы к изучению курса «Вероятность и статистика»

Преподавание элементов статистики в школьном курсе математики имеет свои особенности, сказывающиеся и на используемой при этом терминологии.

Логика обучения стохастике в высших учебных заведениях

В высшей школе чтение курсов математической статистики и просто статистики (общей теории статистики), как правило, проходит после того, как студенты познакомились в курсе теории вероятностей с понятием случайной величины, её теоретическими характеристиками (законом распределения, математическим ожиданием, дисперсией, медианой и т. п.), с последовательностями независимых наблюдений случайной величины и т. д. Понятия случайной величины и выборки выступают фундаментом обоснования статистического вывода, построения различных оценок числовых характеристик случайных величин.

В школьном курсе изучение основных понятий статистики должно проходить на другом – элементарном – уровне.

Подходы к преподаванию теории вероятностей и статистики в школе

Подход 1: начало обучения с элементов статистики

Авторы ряда основных школьных учебных пособий (Ю. Н. Тюрин, Е. А. Бунимович, И. В. Ященко) предлагают начинать знакомство с разделами теории вероятностей и статистики именно со статистики. Такой подход исходит из нескольких методических соображений:

1. Материал описательной статистики (таблицы и диаграммы) прост для освоения в 7 классе.
2. При обсуждении реальных статистических данных хорошо иллюстрируется само понятие случайной изменчивости окружающего нас мира. Тем самым готовится концептуальная база для понятия «случайный эксперимент» и вероятности различных исходов этого эксперимента.
3. Показывается, как формализуются и описываются данные окружающего нас мира.
4. У учителей есть возможность на простом материале повторить и закрепить ряд тем, пройденных в школьном курсе ранее (скажем, проценты).

При такой перестановке мы вынуждены говорить о тех или иных характеристиках данных в отсутствие понятия случайной величины и её закона распределения. В этих условиях предлагается говорить о числовых и графических характеристиках «набора чисел».

Подход 2: начало обучения с элементов комбинаторики и теории вероятностей

Другой методический подход предлагает изучать элементы статистики в школе после комбинаторики и теории вероятностей. При этом, однако, понятие случайной величины в теории вероятностей не вводится, и опять приходится говорить о числовых характеристиках «набора чисел». По мнению авторов Ю. Н. Макарычева, Н. Г. Миндюк, в школьном курсе вполне возможно обойтись без упоминания случайных величин.

Занятие 4. Психолого-педагогические особенности усвоения вероятностно-статистического материала

Проблема определения периодов возрастной сензитивности

В XX веке в ходе поиска практических путей включения вероятностно-статистического материала в базовый курс математики учеными разных стран ставился и рассматривался целый ряд психолого-педагогических проблем, возникающих в процессе усвоения учащимися стохастического материала. Выделены две наиболее принципиальные проблемы.

Первая из них – это проблема определения периодов возрастной сензитивности для формирования базовых вероятностно-статистических представлений. Иными словами, это определение возрастных периодов оптимального сочетания условий для усвоения стохастического материала.

Ученые-психологи Ж. Пиаже и Б. Инельдер выделили три возрастные группы учащихся:

• • первая – от 6 до 9 лет;
  • вторая – от 9 до 12 лет;
  • третья – от 12 лет и старше.

Относительно первой группы ученые пришли к следующему выводу:

• • у детей от шести до девяти лет нет четкого разделения между случайным и неизвестным;
  • отсутствуют внятные представления о случае и случайном;
  • наблюдается стремление к регулярности, определенности, детерминированности.

То есть нет никаких психолого-физиологических оснований, чтобы ставить вопрос о формировании у детей этого возраста хотя бы начальных вероятностных представлений.

По данным Ж. Пиаже и Б. Инельдера, у второй группы детей (от 9 до 12 лет) остается общее «стремление к регулярности», тяготение к детерминированным процессам. Однако у них уже появляются представления о случайности событий и явлений, хотя случайное и нерегулярное воспринимается как нечто нарушающее общий порядок.

При этом Ж. Пиаже и Б. Инельдер делают вывод, что к 11-12 годам ученик способен:

• • четко отличать случайное и абсолютно детерминированное событие;
  • понимать сущность и смысл экспериментов со случайными исходами;
  • качественно определять возможность наступления того или иного случайного исхода и количественно его оценивать.

По мысли ученых-исследователей, это связано с тем, что учащиеся этого возраста обладают уже достаточно сформированным абстрактным и логическим мышлением и уже освоили необходимый математический аппарат. Этот период, не закрепленный формальными «обязательными результатами», дает хорошее развитие вероятностной интуиции и статистических представлений детей.

У учащихся третьей группы (старше 12 лет), несмотря на уже достаточно развитое абстрактное и логическое мышление и относительно обширные знания в других областях математики, практика столкновений со случайным в повседневной жизни (при отсутствии адекватных научных знаний и соответствующих рационально направленных объяснений) приводит к постепенному развитию настороженности и недоверия к кругу явлений, основанных на случайности.

Согласно данным ученых-физиологов и психологов, в среднем звене школы заметно падение интереса к процессу обучения в целом и к математике в частности. На уроках математики в основной школе, проводимых по привычной схеме и на традиционном материале, у ученика зачастую создается ощущение непроницаемой стены между изучаемыми объектами и окружающим миром. Именно вероятностно-статистическая линия (или, как её стали называть в последнее время, стохастическая линия), изучение которой невозможно без опоры на процессы, наблюдаемые в окружающем мире, на реальный жизненный опыт ребенка, способна содействовать возвращению интереса к самому предмету «Математика», пропаганде его значимости и универсальности.

Использование  жизненного опыта учащихся

Всё расширяющаяся мировая практика обучения стохастике школьников позволила выявить и вскрыть другую принципиально важную психолого-педагогическую проблему. К началу обучения учащиеся уже обладают некоторыми интуитивными представлениями о случайном и закономерном, о шансах наступления случайного события, базирующихся на собственном жизненном опыте. Зачастую эти житейские представления оказываются ошибочными и вступают в противоречие со знаниями о вероятности и статистике, внедряемыми в сознание учащихся в процессе обучения.

Многие исследователи, например, С. Мори, Ж. Бордье и А. Тотохашина, сравнивая различные подходы к изучению вероятностно-статистического материала, экспериментально проверяли, какие из них наиболее эффективно способствуют качественному изменению вероятностно-статистического мышления, преодолению вероятностных предрассудков. Французские ученые наглядно показали, что формальное изложение вероятностно-статистического материала в классической модели не способствует формированию стохастических представлений. Использование же собственного жизненного опыта школьника, рассмотрение реальных вероятностных ситуаций с последующим построением адекватной математической модели («классической» или «статистической»), наоборот, выступает сердцевиной эффективного обучения стохастике в школе.

Факторы эффективного обучения стохастике

Исследования психологов свидетельствуют о следующем:

1. Возрастной период, наиболее благоприятный для формирования начальных вероятностных понятий и представлений, – возраст 11-13 лет.
2. Приступая к изложению вероятностно-статистического материала, необходимо учитывать сложившиеся у учащихся интуитивные представления о случайном, которые зачастую могут быть неверными. Обучение окажется эффективным лишь в том случае, если жизненный опыт учащихся в этой области будет постоянно учитываться и соответствующим образом корректироваться. Подчеркнем: это принципиальная особенность когнитивных процессов при овладении именно вероятностно-статистическими знаниями, что отличает эту область от практически всех других разделов школьной математики.

В работах российских исследователей также неоднократно было доказательно представлено утверждение, что преподавание «чистой теории вероятностей» не оказывает сколько-нибудь заметного влияния на развитие статистического мышления и вероятностной интуиции, не способствует содержательному применению стохастических идей и представлений на практике при решении прикладных и жизненных задач.

Занятие 5. Методы обучения стохастике

Сочетание традиционных и инновационных методов обучения

Цели и содержание, сама специфика стохастического материала определяют методы и формы его изложения.

Новые тенденции, которые усилились и получили распространение в последние годы в ходе модернизации российского образования, такие как усиление роли экспериментов на уроках наглядной геометрии, возникновение и расширение области применения методов перебора, подбора и эвристического поиска на уроках арифметики и алгебры, проведение различных исследований, использование групповых форм работы как в классе, так и для внеурочной работы, именно в преподавании стохастического материала оказываются естественными, закономерными, а иногда и единственно возможными. Это:

• • доказательные, мотивированные рассуждения, обеспечивающие понимание на качественном уровне;
  • опора на личный опыт учащихся и на социально-экономические реальности нашего времени, возможность появления разных ответов на один и тот же вопрос;
  • работа в группах;
  • задачи-исследования;
  • работа с калькулятором и компьютером;
  • проведение экспериментов.

Перечисленные выше формы и методы изложения и усвоения материала используются наряду с традиционными формами и методами, обеспечивающими естественность включения стохастического материала и взаимосвязи с уроками, посвященными другим математическим темам.

Точно так же для контроля усвоения материала в предложенной стохастической линии разумно сочетать как традиционные (самостоятельная, контрольная работа), так и нетрадиционные (отчет о проведенном группой опросе, содержательное изложение результатов эксперимента и т. д.) формы.

Метод моделирования научного эксперимента

Принципиальная особенность стохастики как области научных знаний – опора на экспериментальные исследования, которые служат как источником, так и способом подтверждения истинности научной гипотезы. Эта особенность должна найти адекватное отражение в обучении, в его содержании и методах. Иными словами, учебная деятельность школьников должна строиться на базе экспериментальных исследований.

Учебный эксперимент не всегда может отвечать всем критериям строго научного эксперимента, однако учащиеся должны иметь представления о некоторых базовых его условиях. К ним, например, относятся:

• • обязательное наличие элемента случайности;
  • возможность неоднократного повторения эксперимента в одних и тех же условиях;
  • достаточная в количественном отношении база для получения обоснованных выводов.

Реализация этих базовых условий возможна не только при непосредственном проведении серии экспериментов, но и путем моделирования соответствующего эксперимента на компьютере.

Метод коммуникативного взаимодействия

Особенность реальных ситуаций, рассматриваемых при обучении стохастике, – их неоднозначность, возможность различных трактовок и интерпретаций, определяемых в том числе и личным опытом. При этом, в отличие от привычных для учащихся и учителей задач традиционных разделов курса математики, здесь (в зависимости от выбранной трактовки исходной модели) обоснованными могут оказаться разные варианты ответа. Важно, чтобы они были сформулированы, логически выстроены и подкреплены соответствующими аргументами, что должно вызвать ответную   реакцию,    иную   доказательную аргументацию.

Методы совместного размышления, коллективного обсуждения, дискуссии, полемики, разных форм коммуникативного взаимодействия с оппонентами дают возможности коллективного поиска истины как в мировоззренческом, так и в математическом плане.

Метод социальной практики

Принцип социализации, адаптации учащихся к реальной жизни подразумевает постоянное использование в учебном процессе ситуаций как из общественной, социальной, экономической жизни общества, так и личного опыта учащихся. Учебные задачи курса стохастики дают такую естественную возможность и должны быть ориентированы на приобретение учащимися социального и жизненного опыта, умения критически мыслить, извлекать информацию, интерпретировать данные, применять полученные знания и представления в конкретных жизненных ситуациях.

Метод схематизации и кодирования

Работа с большим числом вариантов, большими массивами данных, многократными экспериментами требует постоянного поиска оптимальных в конкретном случае способов кодирования, способов регистрации результатов и дальнейшего представления информации.

Дополнительный материал к занятию

• Методические материалы по обучению курсу «Вероятность и статистика» в 7-11 классах для педагогов, внедряющих обновленные ФГОС ООО и ФГОС СОО.

Модуль 2. Методические аспекты реализации вероятностно-статистической линии в условиях реализации обновленного ФГОС ООО

Занятие 1. Методические особенности изучения элементов статистики в 5-6 классах

Планируемые результаты в соответствии с ФОП ООО

С элементами описательной статистики школьники начинают знакомиться в 5-6 классах.

Согласно Федеральной образовательной программе основного общего образования (далее – ФОП ООО) учащиеся научатся:

• • анализировать, оценивать, извлекать информацию, представленную в таблицах, на линейной, столбчатой или круговой диаграммах;
  • интерпретировать представленные данные, использовать данные при решении задач;
  • представлять информацию с помощью таблиц, линейной и столбчатой диаграмм.

Работа с таблицами

Содержание статистического материала в целом таково, что ведущим в нем на протяжении всего периода обучения является прикладной аспект. Изучение статистики начинается с формирования умения работать с информацией, представленной в форме таблиц и диаграмм.

Для начала учащимся предлагается рассмотреть хорошо знакомую страницу классного журнала с отметками по математике. Сообщается, что эта страница – простейшая таблица с двумя входами (по вертикали – фамилии учащихся, по горизонтали – даты учебных занятий). Так естественным путем вводятся термины, связанные с использованием табличной формы представления данных: строка, столбец (колонка). В процессе выполнения упражнений у учащихся формируется умение извлекать информацию, заключенную в клетке таблицы, в строке, в столбце. Кроме того, школьники учатся анализировать табличную информацию и делать на этой основе соответствующие выводы. Они знакомятся с пиктограммами, в которых для обозначения численности предметов используются различные картинки. Рассматриваются более сложные виды таблиц, широко используемые в средствах массовой информации. Главная цель – развитие умения анализировать готовые таблицы и делать соответствующие выводы.

В 6-х классах рассматриваются задачи, непосредственно направленные на работу с таблицами, формируются умения представлять необходимую информацию в виде таблицы. От чтения таблиц учащиеся должны перейти к их заполнению.

Формированию умений представлять необходимую информацию в виде таблицы может способствовать решение следующей задачи:

«Вожатый в конце смены спросил, сколько книг члены его отряда прочитали за смену. Вася прочитал 1 книгу, а Таня – в 3 раза больше. Настя прочитал 6 книг; Сережа не прочитал ни одной книги за смену; Аня прочитала на две книги больше, чем Вася; Света и Катя прочитали одинаковое количество книг, при этом каждая из них прочитала в два раза больше, чем Марина; а Марина прочитала на одну книгу меньше, чем Таня. Постройте таблицу, занесите в таблицу количество прочитанных книг каждым из учеников».

Работа с диаграммами

Таблицы не дают наглядного представления о соотношении величин. Далее изучается новая форма изображения информации – диаграммы. Диаграммы используются для наглядного, запоминающегося изображения и сопоставления данных. Учащиеся должны осознать, что диаграмма – это не только компактная, но и наглядная форма представления количественной информации.

Учащиеся знакомятся с несложными столбчатыми диаграммами, их разновидностью – линейными диаграммами. Обращается внимание на развитие умения приближенной оценки изображенных на диаграммах данных, которое необходимо при интерпретации диаграмм, приводимых в средствах массовой информации.

Затем учащиеся знакомятся с круговыми диаграммами, с помощью которых удобно изображать информацию, характеризующую соотношение между частями целого. Они получают некоторое представление о приеме построения круговых диаграмм путем разбиения круга на секторы, площади которых соответствуют данным, выраженным в процентах. По-прежнему главным остается развитие умения читать готовые диаграммы.

При введении понятия «диаграмма» можно рассмотреть следующую задачу:

«Среди учеников пятых классов проведен опрос по теме “Любимое время года”. Результаты опроса занесены в таблицу. По этой таблице можно составить диаграмму (рис.1)».

Результаты опроса учеников пятых классов

Рис.1.  Диаграмма с результатами опроса учеников пятых классов

Учащимся можно предложить сравнить таблицу и диаграмму. Вопросы:

1. Как вы думаете, с помощью таблицы или диаграммы удобнее проводить сравнение данных?
2. В каком виде представление информации для вас наиболее понятно – в форме таблицы или в форме диаграммы?
3. Встречались ли вы раньше с диаграммами? Где используются диаграммы?
4. Определим понятие «Диаграмма» – изображение количественного соотношения каких-либо величин в наглядном виде.
5. Существуют различные виды диаграмм. Название диаграммы зависит от того, какая геометрическая фигура используется для представления информации. Диаграмма может быть линейной, круговой, столбиковой, конусной, цилиндрической и так далее. На рисунке 1 представлена столбиковая диаграмма.

Учебные мини-исследования

При объяснении нового материала и выполнении упражнений особое внимание обращается на формирование умения делать выводы и принимать решения. Развитию этого умения способствует проведение несложных мини-исследований, тематика которых доступна учащимся этого возраста.

Группы из 4-5 человек составляются по желанию учащихся или по выбору учителя. Участники такой группы сами распределяют работу, собирают данные, представляют их в удобной для интерпретации форме и делают выводы. Важнейшая составляющая этой работы – формирование умения делать выводы и принимать соответствующие решения. При этом форма работы нескольких человек над одной и той же проблемой, то есть работа в малых группах, оказывается полезной не только в период усвоения материала, но и как эффективная форма контроля. Представление группой результатов своего исследования вполне может заменить привычную контрольную работу.

Занятие 2. Методические особенности обучения статистике в 7-9 классах

Цель изучения элементов статистики в 7-9 классах

В 7 классе учащиеся переходят к знакомству и овладению новым набором понятий и терминов. Эти понятия даются с разной степенью формализации и логической строгости. Все они нацелены на формирование умения исследовать ряд данных. Дается определение таким статистическим характеристикам ряда данных, как различные средние (среднее арифметическое, мода, медиана), меры разброса ряда данных (размах и среднее квадратичное отклонение).

В то же время адекватное содержательное представление, не доводимое до уровня математической строгости, может быть сформировано о таких важных проблемах, как математические методы определения необходимого объема выборки при разумной ограниченности количества опрашиваемых, случайности выбора опрашиваемых, фигурирующих в процедуре опроса, обеспечение репрезентативности выборки. Все эти проблемы весьма сложные и узкоспециальные, и знакомство с ними может идти путем обсуждения на содержательном, качественном уровне.

Главная интегральная цель изучения элементов статистики в 7-9 классах – формирование у обучающихся представлений о статистическом исследовании, осознание приемов его проведения.

Методика изучения темы «Статистические исследования»

Рассмотрим методику изучения темы «Статистические исследования», которую проходят в курсе 9 класса. Этот фрагмент курса – весьма характерный и представительный с точки зрения демонстрации подходов к изложению материала стохастической линии. Содержание темы «Статистические исследования» группируется вокруг трех базовых проблем, близких жизненному опыту учащихся. Их тематика такова:

• • «Как исследовать качество знаний школьника?»;
  • «Удобно ли расположена школа?»;
  • «Куда пойти работать?».

Обучение строится так, что учащиеся сами оказываются в позиции исследователей и сами выполняют описанные процедуры. По ходу исследования актуализируются полученные ранее знания о случайных экспериментах, способах представления данных и статистических характеристиках, а также вводятся некоторые новые понятия, отражающие специфику каждого исследования.

Работа с терминами

По ходу ознакомления с материалом учащимся предлагается составлять словарь новых терминов. Он может выглядеть так:

• • генеральная совокупность;
  • выборочное обследование;
  • репрезентативная выборка;
  • ранжирование ряда данных;
  • полигон частот.

Этот словарь дополняется при изучении последующего материала. Учащиеся должны понимать смысл выписанных терминов и использовать их в речи.

Введение понятий «ранжирование ряда данных», «полигон частот», «мода»

Перед учениками ставится первая проблема – «Как исследовать качество знаний школьника?», которая сужается до исследования качества математической подготовки школьников. В учебном процессе школьники проходят основные этапы этого исследования:

• • обсуждается проблема построения репрезентативной выборки;
  • демонстрируются приемы сбора данных и их наглядного представления;
  • проводится анализ полученных результатов.

По сути, они осваивают алгоритм, который используют статистики при проведении подобных исследований.

Учащимся предлагаются гипотетические реальные данные по одному городу, где из 710 девятиклассников было случайным образом выбрано 50. Приводится ряд, содержащий информацию о количестве верно решенных задач в ходе контрольной по математике каждым из этих 50 школьников. На этом примере объясняется операция ранжирования данных. Отбор девятиклассников для анкетирования соотносится с уже хорошо известными школьникам случайными экспериментами, причем результатом каждого такого эксперимента можно считать количество верно решенных в контрольной работе задач. Согласно отработанной методике случайных экспериментов высчитываются абсолютная и относительная частоты появления каждого случайного события. Полученные результаты сводятся в таблицу:

Делается вывод: поскольку отбор девятиклассников был случайным и выборка имеет достаточный объем по отношению ко всей совокупности работ, то на основании полученных результатов можно с достаточной уверенностью судить об уровне знаний всех писавших работу девятиклассников города. Например, поскольку в выборке 8% школьников решило все задачи, то можно ожидать, что из 710 учеников примерно 8% справилось со всеми задачами (то есть примерно 55-60 учеников). Приводятся примеры наглядного представления полученных данных – как уже известные школьникам (столбчатая и круговая диаграммы), так и новые (полигон частот). Дается алгоритм построения полигона частот.

Когда с помощью ранжирования ряда, таблицы и графических иллюстраций уже получены первоначальные сведения о закономерностях ряда данных, предлагается с помощью статистических характеристик ряда данных провести более точный, более качественный статистический анализ. Из таблицы находится наиболее типичный результат по математике, мода ряда данных, а также то, сколько задач решает ученик в среднем, то есть среднее арифметическое этого ряда данных.

Далее объясняется, что для получения более точных результатов, необходимо провести анкетирование всех школьников, однако грамотное применение выборочного метода позволяет получить вполне обоснованные данные обо всей совокупности, исследуя лишь небольшую часть этой совокупности – выборку, экономя средства, силы и время. Здесь уместно обсуждение вопроса о том, в каких случаях статистический анализ всей совокупности объектов не имеет никакого смысла.

Завершить обсуждение первой проблемы целесообразно обсуждением вопроса о репрезентативности,   поскольку нерепрезентативность выборки легко может привести к искаженным или просто неверным статистическим выводам и результатам. Чтобы обеспечить репрезентативность выборки, надо осуществить случайный отбор, то есть сделать так, чтобы любой объект генеральной совокупности имел одинаковую вероятность попадания в выборку. Даются примеры нерепрезентативных выборок.

Далее для закрепления знаний и умений учащихся, полученных в ходе решения проблемы 1, предлагается система задач и мини-исследований. Их цель – осознание приемов проведения статистических исследований, освоение введенных терминов.

Введение понятий «интервальный ряд» и «гистограмма»

При рассмотрении второй проблемы «Удобно ли расположена школа?», как и в первом исследовании, важно, чтобы учащиеся не просто прочитали или прослушали текст, а выполняли бы все описанные этапы исследования. Здесь встречаются новые понятия – интервальный ряд и гистограмма. Предполагается, что их учащиеся освоят на содержательном уровне по ходу исследования. Содержание проблемы таково: в обычной городской школе было проведено статистическое исследование. Выбранных наугад 100 учеников попросили замерить, сколько минут каждый из них тратит на дорогу в школу. В результате получили ряд данных, который предлагается школьникам.

Отличие от первого исследования в том, что одинаковые значения при замерах встречаются редко, а число различных вариантов довольно велико, и поэтому ранжирование не позволит выявить характерные черты ряда данных. Для обработки данных учащимся предлагается построить интервальный ряд. Методическая особенность построений интервального ряда заключается в том, что можно по-разному разбивать его на промежутки. Поэтому при решении одной и той же задачи могут получаться разные гистограммы, а также различные средние арифметические, что зависит от способа упрощения ряда. Чтобы подчеркнуть эту особенность построения интервальных рядов, на уроке специально создается соответствующая ситуация.

Поскольку графическим изображением интервального ряда служит гистограмма, далее разбирается методика построения гистограммы. Возможно использование полигона частот. Упрощая исследовательскую работу, в этом случае берут срединное значение каждого интервала и соответствующую этому интервалу частоту.

Для дальнейшего исследования полученного упрощенного ряда нетрудно найти его основные статистические характеристики, что учащиеся могут сделать уже самостоятельно. Самостоятельно они делают и выводы, формулируя, какая еще дополнительная информация может понадобиться, чтобы ответить на вопрос задачи. Например, где именно расположена школа – в большом городе, в маленьком городке или в сельской местности, поскольку это может повлиять на ответ, который будет дан на поставленный в исследовании конкретный вопрос.

После рассмотрения второй проблемы могут быть предложены задачи-исследования.

Пример задачи:

На гистограмме (рис. 2) представлены данные о площадях квартир в одном из микрорайонов города N:

а) составьте таблицу частот для срединных значений каждого интервала, указанного на гистограмме, если всего в выборке 1500 квартир;

б) найдите среднюю площадь квартиры в исследуемом микрорайоне.

Решение этой задачи может выглядеть так:

1. Срединное значение для каждого интервала найдем как среднее арифметическое значений на концах интервала. Соответствующее значение частоты получим, умножив число 1500 на процент квартир для этого интервала.

Рис. 2

Например, для интервала от 25 до 35 срединное значение равно (25+35) : 2 = 30. По гистограмме на рис. 2 определяем, что квартиры такой площади составляют 20%. Их количество равно: 1500·0,2 = 300.

2. Средняя площадь квартиры:

30•0,2 + 40•0,3 + 50•0,2 +6 0•0,15 + 70•0,1 + 80•0,05 = 48 (м²).

Введение понятий выборочная дисперсия, среднее квадратичное отклонение

Третья проблема «Куда пойти работать?» призвана показать, что нахождения только средних значений часто недостаточно для анализа ряда данных. Помимо оценки средних важно оценить величину разброса, рассеивания полученных данных. Ключевые понятия, которые при этом вводятся, – это выборочная дисперсия и среднее квадратичное отклонение.

Учащимся предлагается два ряда сравнимых статистических данных. Это данные о зарплатах на двух небольших предприятиях. В начале работы учащиеся убеждаются, что на обоих малых предприятиях одинаковое число работающих и что их зарплаты находятся в одной и той же «вилке» – примерно от 5000 до 11000 руб. Значит, размах данных примерно одинаков.

Затем, посчитав среднее арифметическое зарплат на первом и втором предприятии, учащиеся убеждаются, что и средние зарплаты (7246 руб. – на первом и 7790 руб. – на втором предприятии) не очень отличаются. Но средние не отражают изменчивость полученных данных, или, как говорят статистики, средние не отражают вариацию. Данные в задаче подобраны так, что даже «на глазок» видно, что разброс зарплат вокруг среднего арифметического на первом предприятии больше, чем на втором. Но как найти меру разброса данных, как определить величину рассеивания данных вокруг среднего арифметического?

Вводятся понятия дисперсии и среднего квадратичного отклонения. После соответствующих расчетов получается, что средние зарплаты на двух предприятиях примерно одинаковы, а вот разброс зарплат на первом предприятии больше.

Внутрипредметные связи

Принципиально важным представляется то обстоятельство, что при решении задач учащимся приходится выполнять довольно много математических расчетов, часто прибегая к подсчетам на калькуляторе и, по возможности, организации данных с помощью компьютера. Актуальным становится и умение находить отношение величин и выражать их в процентах, проводить процентные расчеты.

Таким образом, изучение этого раздела дает серьезный импульс не только для актуализации и обобщения материала стохастической линии, но и для:

• • совершенствования вычислительных умений школьников;
  • развития алгоритмического мышления;
  • развития важнейшего умения планировать собственную деятельность, понимать содержание описанного алгоритма и самостоятельно действовать в соответствии с его этапами.

Дополнительный материал к занятию

• Вероятность и статистика: с пятого класса до выпуска.

Занятие 3. Методические особенности обучения элементам комбинаторики и теории вероятностей в основной школе

Рассмотрим основные характерные особенности методики преподавания элементов комбинаторики и теории вероятностей в 5-6 классах.

Изучение элементов комбинаторики

Комбинаторная составляющая стохастической линии по методам и формам обучения наиболее привычна и близка к традиционной системе изложения. Комбинаторика, предлагаемая для изучения в курсе, – это главным образом доформульная комбинаторика, которая строится в основном на содержательной основе.

Метод перебора возможных вариантов

Для решения комбинаторных задач используется, прежде всего, естественный, доступный детям этого возраста метод непосредственного систематического перебора возможных вариантов. Этот метод целесообразен в тех случаях, когда число вариантов невелико. На первоначальном этапе освоения решить комбинаторную задачу означает выписать всевозможные комбинации, составленные из чисел, слов, предметов и так далее, отвечающих условиям задачи. Цель состоит в том, чтобы в процессе решения системы задач учащиеся встретились с необходимостью перебора различных по своей сути и составу комбинаций.

Такое изложение комбинаторного материала позволяет, в сравнении с курсом «формульной» комбинаторики, рассмотреть гораздо более широкий класс комбинаторных задач, не сводящихся к трем основным формулам числа перестановок, размещений и сочетаний, а включающих также соединения с повторениями и перебор с ограничениями, при этом перенести акцент на самую трудную часть решения комбинаторной задачи – её формализацию и построение адекватной модели.

Проводится обсуждение различных способов организации систематического перебора, например, по возрастающей (числа), по алфавиту (буквы), а также перебор с помощью специального графа – дерева возможных вариантов, задающего удобную опорную схему для систематического перебора. При этом в дальнейшем учащимся предоставляется право самостоятельно выбирать способ систематического перебора. Решение комбинаторных задач на этом этапе может считаться правильным и полным, если учащийся предъявил логику перебора и все возможные варианты, каким бы способом он при этом ни воспользовался.

Метод кодирования

Существенный момент – освоение учащимися кодирования как способа представления информации и дальнейшей работы с ней. Использование схематизации и кодирования позволяет не только упростить записи, но и затронуть такие сущностные для математики вопросы, как построение модели и универсальность математических приемов.

В 6 классе для знакомства с методом кодирования предлагается следующая задача:

Пример 1. При встрече восемь приятелей обменялись рукопожатиями. Сколько всего было сделано рукопожатий?

При решении задачи используется двуступенчатое кодирование.

Сначала каждый из приятелей получает свой номер – от 1 до 8. Тогда каждое рукопожатие можно закодировать двузначным номером, составленным из цифр от 1 до 8. Важно, чтобы при кодировании не был утерян смысл, для чего используется прием «раскодирования». Например, учащиеся должны понимать, что число 47 обозначает рукопожатие между четвертым и седьмым приятелем. Затем необходимо прояснить, что среди кодов рукопожатий не может появиться, например, число 33, которое означало бы, что один из друзей пожал руку сам себе; и что такие коды, как, например, 68 и 86 означают одно и то же рукопожатие, а значит, надо учитывать только одно из чисел, например, меньшее.

На следующем этапе учащимся остается подсчитать, сколько существует двузначных чисел, составленных из цифр от 1 до 8, у которых первая цифра меньше второй. Их естественно выписать в порядке возрастания, в результате получается «треугольник», позволяющий найти число рукопожатий:

Сравнение различных способов перебора, предложенных разными учениками при решении одной задачи (как с опорой на зрительный образ, которым служит дерево возможных вариантов, изображенное на бумаге или представленное мысленно, так и с помощью аргументированных рассуждений), позволяет активизировать одновременно и образное восприятие, и логическое мышление ребенка. Акцент при систематическом переборе вариантов делается на выборе рационального способа кодирования и наиболее удобного способа перебора.

Комбинаторное правило умножения

Следующий шаг – знакомство на наглядно-содержательном уровне с комбинаторным правилом умножения – необходимой сущностной основой классических формул комбинаторики: формул числа перестановок, размещений и сочетаний. Это естественным образом происходит при переходе от задач с небольшим количеством объектов, позволяющих осуществить полный перебор всех возможных вариантов, к задачам с большим числом вариантов решения, когда построение дерева или другой непосредственный перебор оказываются технически трудоемкими. При этом обращается внимание учащихся на то, что если дерево симметричное или, как говорят, «правильное», его легко представить себе по отдельному фрагменту. Подсчитав число решений для выделенного фрагмента, нетрудно с помощью умножения определить число всех возможных вариантов решения.

Отметим, что общая методическая установка состоит в обязательном раскрытии содержательного аспекта задачи и поиске адекватной математической модели. Это необходимо для устранения характерного при традиционном «формульном» обучении комбинаторике соблазна механического использования правил и формул. Для предупреждения формирования неверного стереотипа в систему задач на «правило умножения» включаются задания, в которых механическое использование умножения неправомерно. Это задает границы применимости правила и способствует отказу от бездумной формализации.

Пример 2. В турнире участвовало 16 шахматистов, причем каждый с каждым сыграл по одной партии. Сколько всего было сыграно партий?

В ходе решения этой задачи используются следующие рассуждения.

В каждой партии встречаются двое шахматистов. Первым из них может оказаться любой из 16 участников турнира, а вторым – любой из 15 оставшихся. Используя, как в ряде предыдущих примеров, правило умножения, можно подумать, что всего было сыграно 16×15 = 240 партий.

Однако при таком подсчете каждая партия оказалась сосчитана дважды: один раз при подсчете всех партий, сыгранных первым игроком, и второй раз при подсчете всех партий второго игрока (для пояснения этого можно использовать турнирную таблицу). Значит, на самом деле партий было сыграно вдвое меньше, то есть всего  партий.

Изучение вероятностной составляющей стохастической линии

Особенности пропедевтического этапа обучения

Наибольшие методические трудности представляет начальный, пропедевтический этап, когда изложение и усвоение ведется на наглядном, качественном уровне. Учащиеся на этом этапе учатся оценивать вероятность наступления несложных случайных событий сначала на качественном уровне, количественный подсчет вероятностей происходит позднее.

Школьники 10-12 лет исходно обладают устойчивым интересом к вопросам, связанным с определением вероятности победы в игре, а также к суждениям о справедливости и несправедливости как в играх, так и жизненных ситуациях. Подходы к изучению базовых вероятностных понятий, развитие вероятностных представлений школьников строятся, прежде всего, с опорой на такие ситуации. Они позволяют учащимся делать обоснованные прогнозы в тех ситуациях, когда существует случайность и неопределенность, а также понимать смысл часто встречающихся высказываний типа «шансы на победу нашей команды один к трем», «вероятность выигрыша главного приза – одна тысячная» или «вероятность осадков завтра 60%».

В коллективном обсуждении в классе поставленной задачи, в групповой работе, с помощью проведения экспериментов и построения вероятностных моделей школьники вовлекаются в активное изучение и исследование стохастических ситуаций и процессов, осознанно используя результаты экспериментов для анализа и прогноза. Предмет такого изучения достаточно широк. Кроме уже упомянутых выше вопросов, здесь и спорт, и современная музыка, и мода, и различные сферы жизни общества – социальные, экономические, культурные, образовательные, демографические. Все это усиливает мотивацию ученика, причем не только к изучению непосредственно стохастической линии, но и тех понятий из других частей математики, которые при этом используются (отношения, доли, дроби, пропорции и отношения, проценты, графики, площади фигур). При этом именно при решении вероятностных задач содержательный смысл обретают такие, например, вопросы, как сравнение и равенство дробей, их сложение и умножение.

Введение базовых понятий теории вероятностей

Формирование вероятного мышления в 5-6 классах начинается в процессе изучения темы «Случайные события». Это очень важный и интересный для ученика этап, одновременно методически наиболее сложный для учителя, так как он наименее «формализован». Школьники учатся оценивать вероятность наступления несложного случайного события, используя свой жизненный опыт и опираясь на здравый смысл. Эта оценка проводится только на качественном уровне, поскольку на этом пропедевтическом этапе количественный подсчет вероятностей в цели изучения не входит.

В процессе рассмотрения реальных ситуаций с помощью фронтальной беседы и дискуссий идет овладение соответствующим языком, введение в активный словарный запас необходимых понятий.

Вводится ряд базовых понятий, таких как «случайные события», «достоверные, невозможные, более вероятные, менее вероятные, маловероятные, равновероятные события». Новые термины связываются с известными из жизни словами – часто, редко, всегда, никогда, это очень возможно, это обязательно произойдет, это маловероятно, это никогда не случится.

Случайное событие рассматривается как событие, которое может произойти, а может и не произойти в ходе некоторого случайного процесса, эксперимента, ситуации, зависящих от случая. Даются соответствующие примеры, учащиеся знакомятся с обозначениями. Далее вводится понятие невозможного события как события, которое при этих условиях произойти не может. Например: «в следующем году снег в Москве вообще не выпадет», «при бросании кубика вы получите семерку».

Достоверное событие вводится как событие, которое при этих условиях обязательно произойдет. Например: «при бросании кубика вы получите число, меньшее 7».

Отметим, что события достоверные и невозможные на начальном этапе мы не считаем возможным отнести к случайным событиям. Такой подход отличен от традиционного строго математического подхода и обусловлен особенностями восприятия детей возраста 10-12 лет. Опыт преподавания показал, что пятикласснику психологически трудно, практически невозможно считать случайными те события, которые происходят всегда, и те события, которые не происходят никогда. Математически более строгое понятие случайного события, включающего достоверные и невозможные события, осмысляется учащимися на более поздних ступенях обучения.

В ходе обсуждения различных примеров ученики убеждаются в том, что в мире случайных событий можно обнаружить закономерности и оценить шансы наступления различных событий. Например, при бросании игрального кубика есть три шанса из шести, что выпадет четное число очков, только один шанс из шести, что выпадет пять очков и никаких шансов, что выпадет семь очков. Однако, рассматривая ситуацию с кубиком, ребенок интуитивно опирается на гипотезу о «правильности» кубика, о равновероятности выпадения 1, 2, 3, 4, 5 или 6 очков при подбрасывании кубика.

Важно показать, что далеко не всегда можно точно вычислить шансы наступления того или иного события, что часто шансы приходится оценивать примерно – на основе жизненного опыта, уже имеющихся статистических данных или путем проведения многократных экспериментов.

Поскольку вероятность наступления событий изменяется в зависимости от условий, в которых они рассматриваются, при обсуждении в классе на один и тот же вопрос может быть дано несколько различных и одновременно верных ответов, что непривычно и неожиданно для учащегося, уже сформировавшего к этому времени свои стереотипы процесса усвоения курса математики.

Пример 3. Сравните между собой на основе жизненного опыта общения по телефону шансы следующих случайных событий и определите, какие из них наиболее вероятны:

А: вам никто не позвонит с 5 до 6 утра;

В: вам кто-нибудь позвонит с 5 до 6 утра;

С: вам кто-нибудь позвонит с 6 до 9 утра;

D: вам никто не позвонит с 6 до 9 вечера.

Задачи такого типа позволяют обсудить со школьниками как общие статистические закономерности, так и индивидуальные особенности, в результате которых для разных людей возможны различные ответы на поставленные вопросы.

Так, поскольку ранним утром звонки вообще бывают очень редко, у события В шансов крайне мало, оно маловероятное, почти невозможное событие. У события А очень много шансов, это практически достоверное событие.

Вечерние часы, наоборот, время самого активного «телефонного» общения, поэтому событие С для большинства людей вероятней, чем событие D. Хотя если человеку вообще звонят редко, событие D может оказаться вероятнее события С.

Статистический подход к понятию вероятности

Особенность рассмотренной методики – статистический подход к понятию вероятности как наиболее наглядный, опирающийся на деятельность ученика и его опыт. Вероятность случайного события оценивается по относительной частоте, значение которой получено на основе экспериментальных данных. Этот подход требует реального проведения таких экспериментов в ходе учебного процесса. Причем для стабилизации частоты необходимо провести достаточно большую серию экспериментов.

Не сосредотачиваясь на определениях и формулах, на технике вычисления вероятностей тех или иных событий, выбрав статистический подход к понятию вероятности, мы таким образом определяем возможность и закономерность пропедевтического, наглядного периода, периода проведения экспериментов, когда учащиеся непосредственно оценивают вероятность с помощью нахождения частоты появления того или иного события. Однако учащиеся должны не только воспринимать найденную частоту как оценку искомой вероятности, но и понимать, что мера неопределенности и определенности, точности оценки меняется в зависимости от количества собранных данных.

Организация и проведение эксперимента

По своей сущности вероятностно-статистические понятия требуют организации и проведения экспериментов. На первом этапе в 5-6 классах это реальные эксперименты с реальными объектами. Такие занятия требуют специальной подготовки с учащимися, обсуждения условий проведения случайного эксперимента, плана проведения экспериментов. Естественна и необходима здесь такая форма урока, как групповая работа, а также работа в парах.

Обсуждение эксперимента требует осознания необходимых как с «научной», так и с «практической» стороны условий проведения эксперимента.

Так, с точки зрения «научности» при подготовке экспериментов со случайными исходами (с кнопкой, монетой, кубиком) важно осознание необходимости присутствия случая, случайности результатов каждого испытания, а также принципиальность возможности многократного повторения эксперимента (например, подбрасывания кнопки) в одних и тех же условиях, то есть многократной воспроизводимости эксперимента.

С практической точки зрения важно обсудить материальную часть: кнопки, одинаковые в разных группах, таблицы для фиксирования результатов, сводная итоговая таблица, представленная на доске. Затем требуется обсуждение постановки задачи, этапов работы, техники безопасности, деления на группы и распределения обязанностей.

Постепенно формируется осознание, что непосредственное проведение многократных случайных экспериментов не всегда возможно. Так, при определении возможности выигрыша в лотерею надо проводить тысячи тиражей, покупая каждый раз билет, что невозможно ни по временным, ни по материальным соображением. Здесь уместно сказать учащимся, что возможно построение модели эксперимента, прежде всего, с помощью компьютера.

Занятие 4. Особенности адаптирования методики преподавания теории вероятностей для эффективного восприятия школьниками

Проблемы введения теории вероятностей в школе

В 2009 году приказом Минобрнауки Российской Федерации от 06.10.2009 г. № 413 «Об утверждении и введении в действие Федерального государственного образовательного стандарта среднего общего образования» в школьный курс были введены элементы теории вероятностей и математической статистики, а также этот материал был внесен в Единый государственный экзамен. Опыт внедрения теории вероятностей в школьный курс сопровождался рядом трудностей. Попытки объяснить элементарные понятия теории вероятностей, опираясь на термины и математический аппарат, доступные учащимся вузов, не встретили понимания у школьников в виду предсказуемого отсутствия у них этих знаний.

В перспективе необходимо сквозное постепенное обучение теории вероятностей, начиная с младшей школы. Психологи утверждают, что формировать статистическое мышление нужно еще начиная с дошкольного образования. Потому что обучать детей теории вероятностей, когда у них сформированы детерминированное мышление и детерминированные представления об окружающем мире, гораздо сложнее. Исследования показывают, что статистическое мышление – гораздо более эффективный инструмент познания, чем детерминированное, оказывающий положительное влияние на общую успеваемость, развитие образного мышления и способностей к самостоятельной работе.

Очевидно, что учителям приходится оперировать тем багажом знаний, которым владеют их ученики. Непосредственно перед введением элементов теории вероятностей ученикам предлагается освоить элементы теории множеств, на базе которой потом и дается теория вероятностей. Но ученики еще не успевают не то что закрепить, но и толком освоить знания по теории множеств, поэтому и свободно оперировать ими при решении стохастических задач зачастую оказываются не в состоянии.

Графическая визуализация задач

Отличительной особенностью задач по теории вероятностей является то, что все они представлены в текстовом виде, и очень часто ученики, даже зная нужную формулу, не могут решить задачу, потому что не в состоянии перейти от текстового вида к формализованному. В этом, как и в обучении теории вероятностей в целом, может помочь такой важный прием пропедевтики, как визуализация. Так, в теории вероятностей определение вероятности, данное в классическом формализованном виде, часто вызывает у школьников затруднение. Но дополнение простейшими иллюстрациями уже значительно повышает качество усвоения этого понятия обучающимися.

Также методика обучения математике с начальных классов направлена в том числе и на то, чтоб научить ребенка самому визуализировать задачу. Школьные задания часто предлагают нарисовать схему решения задачи или графически изобразить её условие. По отношению к теории вероятностей простейшие задачи могут быть решены обыкновенным рисунком, иллюстрирующим условие задачи. К примеру, если в условии задачи требуют найти вероятность того, что рулетка остановится на цифре от 4 до 6 при возможных исходах от 1 до 8, то изображение условий задачи графически не только помогает понять задачу, но и, по сути, дает ответ на вопрос (рис.1).

Рис.1. Задача о рулетке

При переходе к более сложным задачам школьники часто затрудняются при выборе формулы решения ввиду того, что путают перестановки, сочетания и размещения, если их определения были даны им только в формализованном виде. В этом случае качество усвоения этих определений обязательно должно быть дополнено графическим учебным материалом, так как для дальнейшего применения этих знаний на практике важно не столько запоминание этих формул, сколько умение правильно определить, с каким именно видом комбинаций нужно работать в конкретной задаче (рис.2).

Рис.2. Визуализация определений перестановок, сочетаний и размещений

Табличный метод решения задач

Другой элемент математического аппарата, которым хорошо владеют школьники и который может быть использован для обучения теории вероятностей, – таблицы. Школьники давно умеют составлять таблицы, используя их для решения задач, это является для них хорошо закрепленным элементом решения задач. Многие задачи теории вероятностей могут быть решены путем составления таблицы полных исходов. Этот метод можно использовать, если количество исходов не слишком велико. К примеру, хорошие результаты усвоения материала школьниками дает табличный метод при решении задач о бросании кубика с пронумерованными от 1 до 6 гранями. Все исходы при двукратном бросании кубика представлены в таблице.

Множество исходов при двукратном бросании кубика

В этой таблице школьники могут отметить условия задачи и представить себе её решение более наглядно. К примеру, надо найти вероятность того, что сумма выпавших значений за два броска кубика будет не меньше 10. Исходя из таблицы, ученики, даже не зная формул, сразу могут найти отношение благоприятных исходов к общему количеству всех возможных исходов, к тому же по таблице подсчет благоприятных исходов и всех исходов будет выполнить намного проще, чем если бы это делалось в уме или простым перечислением.

Использование элементов теории графов

Другим методом пропедевтики для введения элементов теории вероятностей в школьную программу могут выступать элементы теории графов. Несмотря на то, что школьники плотно не знакомы с этой дисциплиной и её элементы в школьном курсе математики представлены поверхностно, простейшие графы дерева исходов обычно не вызывают у них затруднений ввиду своей наглядности и интуитивной понятности.

К примеру, ряд популярных задач на количество чисел, составленных из определенных цифр. Допустим, сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 3, 5, 7, если цифры в числе не должны повторяться. Для решения этой задачи удобно построить граф дерева полных исходов (рис.3), на котором удобно подсчитать количество искомых комбинаций. При построении древа есть гарантия, что школьником не будет пропущено ни одной нужной комбинации, что могло бы случиться при подсчете в уме или даже выписывании комбинации в столбик.

Рис.3. Граф дерева при построении трехзначного числа из цифр 1, 3 ,5 ,7 без возможности их повторения

Классификация задач и выбор пути решения

Наибольшая трудность при обучении школьников элементам теории вероятности – это научить их классифицировать задачу и выбирать путь её решения. Эта проблема наиболее легко разрешима с использованием методов визуализации с последующим усложнением подачи материала, выводом формул комбинаторики исходя из наглядного материала и перехода от них к классическим определениям и теоремам теории вероятностей.

Например, многие школьные учителя пытаются помочь своим ученикам усвоить материал по теории вероятностей подменой эвристического решения выбора формулы детерминированным, а именно предлагая школьникам алгоритм классификации задач по теории вероятностей:

1. Учитывается ли порядок размещения элементов?
2. Да – переход к пункту 4.
3. Нет – переход к пункту 9.
4. Все ли элементы входят в сочетание?
5. Да – переход к пункту 7.
6. Нет – переход к пункту 8.
7. Нужно использовать формулу перестановок.
8. Нужно использовать формулу размещений.
9. Нужно использовать формулу сочетаний.

В таком виде этот алгоритм воспринимается плохо, но будучи представленным графически, легко воспринимается и запоминается обучающимися (рис.4).

Рис.4. Алгоритм выбора формулы для решения задач комбинаторики и некоторых задач теории вероятностей

Применение инновационных технологий

Помимо визуализации методического материала по теории вероятностей в виде простейшей графики хорошие результаты по повышению качества усвоения дисциплины дают инновационные технологии, использующие элементы анимации, а также построенные в игровой форме. Также с компьютеризацией школ стало возможным использовать для обучения теории вероятностей некоторые методы имитационного моделирования, позволяющие школьникам «почувствовать» физический смысл понятий и законов теории вероятностей, увидеть, как меняются характеристики случайных чисел на различных выборках, что невозможно сделать вручную при больших выборках.

После этого переход от простейшего представления стохастических формул к классическому представлению теории вероятностей через математический аппарат теории множеств был бы для обучающихся более легким для восприятия и не вызывал такого отторжения и непонимания, которые наблюдаются при попытках преподавания элементов теории вероятностей без пропедевтики с большим содержанием графического и табличного материала сразу посредством понятий теории множеств, с которой школьники познакомились не так давно и не успели закрепить навыки оперирования её элементами.

Занятие 5. Прикладная направленность в обучении стохастике

Проблема подбора задач в обучении стохастике

В связи с введением в школьный курс математики вероятностно-статистической линии к задачам по алгебре, геометрии, математическому анализу и другим добавились задачи по элементам комбинаторики, теории вероятностей и математической статистике. Стохастические задачи существенно отличаются от обычных математических задач, к которым привыкли школьники. Поиск решения задач по теории вероятностей вызывает у учащихся большие затруднения. Учащиеся теряются в выборе подходов к решению задачи, так как известные им методы решения математических задач, как правило, малопригодны для решения теоретико-вероятностных задач.

Следовательно, встает проблема грамотного подбора стохастических задач, которые необходимо использовать в обучении элементам комбинаторики, теории вероятностей и математической статистике. Задачи чисто математического содержания явно преобладают над задачами с практическим содержанием, кроме того, при подборе задач практически не используются межпредметные связи, слабо отражена прикладная направленность обучения стохастике, что, в свою очередь, не способствует формированию вероятностно-статистического мышления учащихся и представлению о значимости стохастики как прикладной науки.

Реализация прикладной направленности в обучении стохастике

По мнению большинства исследователей (Ю. М. Колягин, В. В. Фирсов, В. Д. Селютин и др.), реализация прикладной направленности в обучении стохастике возможна на старшей ступени, в условиях профильной школы, когда перед учителем математики ставится одна из главных задач – показать возможность применения математического аппарата в будущей профессиональной деятельности школьников.

Знакомство учащихся старших классов с элементами стохастики открывает широкие возможности для иллюстрации значимости математики в решении прикладных задач. Так, например, большинство учащихся классов гуманитарного профиля даже не догадывается, насколько важным аппаратом для исследования ряда социальных и исторических явлений является теория вероятностей и математическая статистика, не говоря о применении вероятностных методов в лингвистике и литературоведении. Весьма поверхностно учащиеся знакомятся с понятиями теории вероятностей на уроках биологии, а ведь именно в этой области знаний (биология, генетика, медицина) возможности применения стохастических законов достаточно широки.

Согласно одному из подходов к классификации задач, в основу которого положено отношение задач к практике, выделяют следующие виды задач:

1. Теоретические задачи:

• • на вывод формулы;
  • на построение доказательства;
  • на конструирование математических объектов.

2. Практические задачи:

• • на организацию и проведение экспериментов;
  • на моделирование реальной ситуации;
  • на определение справедливости пари, лотереи, игры;
  • на интерпретацию числовых данных.

Важно отметить, что содержание практической и теоретической деятельности человека обусловливает различие в направленности мышления: теоретического и практического.

При решении теоретических задач знания используются, как правило, в ситуациях, близких к тем, в которых они были получены. Все учебные задачи классифицируются по их предметному содержанию (задачи по физике, химии и т. д.). Внутри каждого вида имеются группы задач, решение которых основывается на использовании определенных знаний (теорем, формул, аксиом, законов). Тем самым решение теоретических задач во многом облегчается указанием, какой учебный материал и как следует применять. Например, к числу теоретических комбинаторных задач можно отнести следующие:

Для большинства практических задач заранее неизвестно, какие знания необходимо использовать. В ходе их решения приходится привлекать материал из различных предметов, причем способ его применения не задается в готовом виде. Используемые на практике знания не являются простой суммой различных понятий. Они представляют собой своеобразный «сплав» теоретических сведений и практического опыта.

Пример задачи: из букв русского алфавита а, в, д, е, з, и, о, с, т будем составлять 4-буквенные комбинации следующим образом:

• • 1-я буква – какая-нибудь гласная;
  • 2-я буква – в;
  • 3-я буква – гласная, не совпадающая с первой буквой;
  • 4-я буква – какая-нибудь согласная (но не в).

Каждую такую комбинацию будем произносить с ударением на первом слоге.

Ученик, решивший эту задачу, выписал все возможные комбинации («слова»), и у него их получилось 12. Прав ли он? Все ли возможные случаи он учел?

Предлагая подобные задачи межпредметного характера учащимся гуманитарного профиля, учитель демонстрирует им возможность применения аппарата математики (в этом случае – комбинаторного правила умножения) при решении лингвистических задач. Кроме того, в процессе решения задачи учащимся необходимо будет актуализировать свои знания по русскому языку: ударные и безударные гласные, звонкие и глухие согласные.

С точки зрения воспитания творческой личности, формирования приемов мыслительной деятельности особенно важно, чтобы в структуру умственной деятельности школьников, помимо алгоритмических умений и навыков, фиксированных в стандартных правилах, формулах и способах действий, вошли эвристические приемы, которые широко задействованы в процессе решения прикладных (практических) задач. Владение этими приемами необходимо для самостоятельного управления процессом решения творческих задач, применения знаний в новых, необычных ситуациях. Решение практических задач помогает учащимся осознать необходимость овладения знаниями.

Под прикладной задачей стохастики будем понимать задачу, возникшую в реальной жизненной ситуации (в области будущих профессиональных интересов школьников), для решения которой необходимо привлечение стохастического (вероятностно-статистического) аппарата.

Особенности решения прикладных задач

В качестве основного метода решения прикладных задач выступает метод математического моделирования, включающий в себя 3 этапа:

1. Формализация – построение математической модели.
2. Решение задачи внутри построенной модели.
3. Интерпретация – толкование полученного решения.

Обучение решению задач с применением моделирования активизирует мыслительную деятельность учащихся, помогает им понять задачу, самостоятельно найти рациональный путь её решения, установить подходящий способ проверки, определить условия, при которых задача имеет (или не имеет) решение.

Принципы подбора прикладных задач

При подборе прикладных задач по теории вероятностей и математической статистике для учащихся старших классов школы необходимо придерживаться следующих основных принципов:

1. Принцип доступности (прикладные задачи должны лежать в сфере возрастных интересов школьников и отражать вопросы, имеющие место в реальной ситуации; если для рассмотрения отдельных примеров требуются дополнительные факты математической теории, то они должны быть доступны для понимания школьниками данного возраста и могут быть изложены отдельно).
2. Принцип интеграции школьных дисциплин (излагая прикладные вопросы, предлагая учащимся практические задачи, необходимо подчеркивать связь стохастики с другими науками (с химией, физикой, биологией, историей, литературой, языкознанием, психологией, социологией).
3. Принцип практической значимости (содержание прикладных задач должно нести значимую практическую информацию, понятную учащимся либо в силу полученных ими знаний, либо исходя из жизненного опыта и интуитивных представлений).
4. Принцип научности (используемые приложения должны быть математически содержательны, прикладная задача должна быть полноценной в математическом отношении, не растворяясь в профессиональных терминах).
5. Принцип системности и взаимосвязи (прикладные задачи должны быть органической составной частью системы задач и упражнений по основному курсу теории вероятностей).
6. Принцип активности (при разборе конкретных реальных ситуаций, выполнении лабораторных, практических работ и проведении самостоятельных экспериментов учащиеся занимают активную позицию, активно взаимодействуют при работе в малых группах, имитируя реальные зависимости, генерируют идеи).
7. Принцип субъективизма (перевод учащегося из объекта обучения в субъект). Очень важна самостоятельная работа учащихся по составлению прикладных задач, подбору примеров использования идей и методов стохастики в различных областях деятельности человека, что существенно расширяет кругозор школьников, способствует развитию творческого мышления.
8. Принцип мотивации (мотивирующий потенциал стохастики – формирование познавательного интереса). Например, данные, которые используются в задаче, должны иметь познавательную ценность. Учащиеся на конкретных примерах должны увидеть, как абстрактные математические понятия и факты можно применять в профильной для них дисциплине).
9. Принцип профильной направленности. Этот принцип предполагает создание в процессе изучения стохастики среды, адекватной профессиональной среде будущих специалистов. Поэтому приложения теории вероятностей и математической статистики должны быть подобраны в соответствии с определенным профилем обучения, при этом источник задачи и конечные цели, которые преследует её решение, должны лежать вне математики и способствовать выработке профессионально значимых знаний, умений и навыков.

Примеры задач и упражнений прикладного характера

Для классов гуманитарного профиля

1. Упражнение (случай, событие). Приведите примеры событий из жизни следующих литературных героев, в которых случай сыграл главную, а для некоторых и роковую роль:

• • Родион Раскольников (Ф. М. Достоевский, «Преступление и наказание»);
  • Евгений Базаров (И. С. Тургенев, «Отцы и дети»);
  • Берлиоз (М. А. Булгаков, «Мастер и Маргарита»);
  • Евгений Онегин (А. С. Пушкин, «Евгений Онегин»).

2. Задача (классическое определение вероятности). На уроке родного языка каждый ученик получил отрывки из четырех литературных произведений четырех разных писателей, а также (отдельно) фамилии этих писателей. Если ученик правильно укажет автора каждого отрывка, то он получит положительную оценку. Оцените, насколько велик шанс ученика получить положительную оценку случайно (путем догадки), а не благодаря знаниям по литературе.

Для классов естественно-научного профиля

1. Упражнение (случайное событие). Определите, какие из следующих событий являются случайными, достоверными, невозможными:

• • образование соли и воды при взаимодействии кислоты и основания;
  • образование белого осадка при взаимодействии веществ, содержащих ионы бария (, с веществами, содержащими сульфат-ионы (;
  • образование воды при взаимодействии двух солей;
  • образование ионов металлов при диссоциации кислот.

2. Задача (корреляционный анализ). В результате исследования, направленного на изучение влияния вида пищи на плодовитость дафний, были получены следующие результаты: плодовитость дафний, которых кормили водорослями, составила 10, 8, 11, 5, 10, 9, 12, 14, 11, 10, 9, 6, 8, 9, 11, 13, 10, 7, 9, 11, 10, 16 яиц, а дафний, питавшихся детритом, – 13, 9, 12, 14, 11, 9, 6, 10, 15, 7, 4, 11, 5, 8, 6, 10, 8, 12, 13, 14, 7, 15 яиц. Что можно сказать об отличиях этих двух серий измерений? Отражают ли результаты измерений влияние вида пищи на плодовитость дафний?

При обучении стохастике целесообразно использовать не отдельные задачи, а систему задач, которая отвечает следующим требованиям:

• • задачи, включенные в систему, должны отвечать основным образовательным целям обучения;
  • в системе задач необходимо выделять задачи подготовительного характера, на примере которых учащиеся отрабатывают основные приемы и методы, используемые для решения остальных задач системы;
  • содержание прикладных задач, входящих в систему, должно соответствовать реальной действительности, быть наглядным, кратким, интересным, доступным для понимания, а решение – нести практическую значимость;
  • для создания системы задач необходимо учитывать уровневую и профильную дифференциацию;
  • в систему необходимо включать задачи на самостоятельный сбор, представление и обработку информации (сбор статистических сведений, составление и чтение таблиц, диаграмм и графиков);
  • в систему должны входить задачи, стимулирующие активную познавательную деятельность школьников, а также задания, направленные на проведение самостоятельных научных исследований;
  • в систему должны входить задачи как на анализ и интерпретацию вероятностных моделей, так и на самостоятельное построение учащимися моделей реальных ситуаций, возникающих в области будущих профессиональных интересов школьников.

Прикладные задачи как средство развития вероятностно-статистического мышления учащихся

Включение в процесс обучения стохастике прикладных задач во многом способствует формированию и развитию вероятностно-статистического мышления школьников.

При решении подобного рода задач у обучающихся формируются такие приемы логического мышления, как:

• • сравнение, связанное с выделением в предметах общего и различного;
  • анализ, связанный с выделением и словесным обозначением в объекте разных свойств и признаков;
  • обобщение, связанное с отвлечением от несущественных признаков объектов и объединением их на основе общности существенных признаков.

Кроме того, при решении задач учащимся придется выполнять довольно много математических расчетов. Например, актуальным становится умение находить отношение величин и выражать их в процентах. Придется также планировать собственную деятельность, понимать содержание описанного алгоритма и самостоятельно действовать в соответствии с его этапами.

Знакомство учащихся старших классов с прикладными задачами стохастики, расширение круга таких задач в обучении математике окажет положительное влияние на формирование и развитие вероятностно-статистического мышления учащихся, а также позволит учащимся на конкретных примерах увидеть, как абстрактные математические понятия и факты можно эффективно применять в профильной для них дисциплине, что, в свою очередь, будет также способствовать развитию положительной мотивации учащихся в математической подготовке.

Модуль 3. Основные понятия, типовые задачи и способы их решения

Занятие 1. Общие правила комбинаторики. Размещения, перестановки, сочетания

Комбинаторика: понятие, элементы, правила

Комбинаторика изучает способы подсчета числа элементов в конечных множествах. Формулы комбинаторики используют при непосредственном вычислении вероятностей. Элементарные комбинаторные конфигурации – сочетания, размещения, перестановки.

Для подсчета числа этих конфигураций используются правила суммы и произведения.

Правило суммы

Если на блюде лежат три яблока, то выбрать одно яблоко можно тремя способами. Если на другом блюде лежат две груши, то выбрать одну грушу можно двумя способами. А выбрать один фрукт можно пятью способами (выбирая из пяти фруктов – трех яблок и двух груш). Это и есть правило суммы. Если некоторый элемент A можно выбрать m способами, а другой элемент B можно выбрать k способами, то выбор «либо A, либо B» можно осуществить m + k способами.

Пример 1. Из множества 1, 2, 3, 4, 5, 7, 9 (n=7) выбрать четную цифру можно m=2 разными способами (2 или 4), а выбрать нечетную цифру k=5 способами. Тогда выбор четной или нечетной цифры может быть осуществлен m+k=2+5=7 различными способами.

Правило произведения

Если элемент A можно выбрать m способами и после каждого такого выбора элемент B можно выбрать k способами, тогда упорядоченную пару элементов (A, B) можно выбрать m·k способами.

Пример 2. Имеются белый хлеб, черный хлеб, сыр, колбаса и варенье. Сколько бутербродов можно приготовить?

Решение: выпишем сначала бутерброды с белым хлебом: БС, БК, БВ. Столько бутербродов будет и с черным хлебом: ЧС, ЧК, ЧВ. Всего получилось 6 бутербродов.

Ответ: 6

Пример 3. Государственные автомобильные номера состоят из буквы, трех цифр, еще двух букв и номера региона. Буквы могут повторяться. Причем можно использовать только 12 букв: А, В, Е, К, М, Н, О, Р, Т, У, Х. Цифры можно брать от 0 до 9. Номер региона республики Саха (Якутия) – 14. Сколько всего можно составить регистрационных номеров для автомобилей в РС (Я)?

Решение: Первую букву берем одну из 12. Первую цифру одну из 10, вторую одну из 10, и третью тоже одну из 10. Затем две буквы подряд. Каждая выбирается из 12 букв. И номер региона один. Таким образом, 12 × 10 × 10 × 10 × 12 × 12 × 1 = 1728000. Так как автомашин с номерами 000 не существует, то количество с такими номерами надо вычесть, то есть таких номеров 1728. Следовательно, 1728000-1728=1726272.

Ответ: 1726272 вариантов.

Пример 4. Сколькими способами из 28 костей домино можно выбрать две кости так, чтобы их можно было приложить друг к другу (то есть, чтобы какое-то число очков встречалось на обеих костях)?

Решение: сначала выберем одну кость. Это можно сделать 28 способами. При этом в 7 случаях выбранная кость окажется «дублем», то есть костью вида 0|0, 1|1, 2|2, 3|3, 4|4, 5|5, 6|6, а в 21 случае – костью с различными числами очков (например, 0|5, 1|3, 5|2 и т. д.). В первом случае вторую кость можно выбрать 6 способами (например, если на первом шагу выбрана кость 1|1, то на втором шагу можно взять одну из костей 0|1, 1|2, 1|3, 1|4, 1|5, 1|6). Во втором же случае вторую кость можно выбрать 12 способами (для кости 3|5 подойдут как кости 0|3, 1|3, 2|3, 3|3, 4|3, 6|3, так и 5|0, 5|1, 5|2, 5|4, 5|5, 5|6). По правилу произведения в первом случае получаем 7*6=42 выбора, а во втором 21*12= 252 выбора. Значит, по правилу суммы получаем 42+252=294 способа выбора пары (столькими способами могут быть сделаны первые два хода в игре в домино).

В приведенном рассуждении учитывался и порядок, в котором выбирались кости. Поэтому каждая пара костей появлялась дважды (например, первый раз 0|1 и 1|6, а второй раз 1|6 и 0|1). Если не учитывать порядок выбора костей, то получим вдвое меньше способов выбора, то есть 147 способов.

Произведение всех натуральных чисел от 1 до n включительно называют n-факториалом и пишут n!=1×2×3…(n-1)n.

Перестановки

Комбинации из n элементов, которые отличаются друг от друга только порядком элементов, называют перестановками и вычисляют по формуле P_n=n!

Пример 5. Сколько слов можно получить, переставляя буквы в слове «гора»?

Решение: в слове «гора» всего 4 различные буквы, поэтому можно получить всего P₄ = 4! =1×2×3×4 = 24 слова.

Ответ: 24

Пример 6. Сколькими способами можно построить в шеренгу 6 человек?

Решение: на первое место можно выбрать из 6 человек, на второе место можно из пятерых оставшихся, на третье место – из четверых, на четвертое место – из троих оставшихся, на пятое место – из двух оставшихся и на шестое идет один оставшийся. Таким образом, P₆ = 6! = 1×2×3×4×5×6 = 720 способами.

Ответ: 720.

Перестановки с повторениями

Например, переставляя буквы слова «март», получим 4!=24 различные перестановки. Если вместо этого слова взять слово «мама», то во всех выписанных перестановках надо будет заменить «р» на «м» и «т» на «а». При этом некоторые из 24 перестановок окажутся одинаковыми. Поэтому число различных перестановок, которые можно сделать из слова «мама», равно 24/4=6 или 4!/4=6.

Итак, имеется n элементов k различных типов: n₁  элементов первого типа, n₂ элементов второго типа, …., n_k элементов k-типа, n=n₁+n₂+…+n_k. Сколько можно составить различных перестановок из этих элементов?

Перестановки такого типа называют перестановками с повторениями, их числа обозначают Р(n₁, n₂, …, n_k). Число различных перестановок с повторениями, которые можно сделать из этих элементов, равно   , где n=n₁+n₂ +…+n_k.

Пример 7. Сколько перестановок можно сделать из букв слова «математика»?

Решение:

Ответ: 151200

Пример 8. Сколько слов можно получить, переставляя буквы в слове «институт»?

Решение: в слове «институт» 8 букв, из них две буквы «и», три буквы «т» и по одной букве «н», «с» и «у». Поэтому всего можно получить перестановками букв

 различных слов.

Ответ: 3360

Размещения

Комбинации из n элементов по m элементов, которые отличаются друг от друга или самими элементами, или порядком элементов, называются размещениями (m и n – натуральные числа, n≥m) и вычисляются по формуле: =  = n(n-1)(n-2)·…·(n-m+1).

Пример 9. В пассажирском поезде 9 вагонов. Сколькими способами можно рассадить в поезде 4-х человек при условии, что все они должны ехать в различных вагонах?

Решение: так как все пассажиры должны ехать в разных вагонах, требуется отобрать 4 вагона из 9 с учетом порядка (вагоны отличаются №), эти выборки – размещения из n различных элементов по m элементов, где n=9, m=4. Число таких размещений находим по формуле: =9·8·7·6=3024.

Ответ: 3024 способами можно рассадить.

Размещение с повторениями

Имеется бланк, в котором k мест. Все места вакантны. Их надо заполнить элементами. На каждое место можно поместить элемент одного из n видов (элементов каждого вида достаточное количество, поэтому элементы могут повторяться). Два способа заполнения считаются различными, если хотя бы на одном месте в них стоят разные элементы.

Сколько существует способов заполнить такой бланк?

Каждый способ заполнения дает размещение с повторениями из n элементов по k или k-размещение с повторениями из n элементов. Число таких размещений обозначают

и вычисляют с помощью формулы

Пример 10. В конкурсе по 5 номинациям участвуют 10 кинофильмов. Сколько существует вариантов распределения призов, если по всем номинациям установлены различные премии?

Решение: каждый из вариантов распределения призов представляет собой комбинацию 5 фильмов из 10, отличающуюся от других комбинаций как составом, так и их порядком. Так как каждый фильм может получить призы как по одной, так и по нескольким номинациям, то одни и те же фильмы могут повторяться. Поэтому число таких комбинаций равно числу размещений с повторениями из 10 элементов по 5:

Ответ: 100000

Пример 11. Надо срочно доставить 6 пакетов разным адресатам. Сколькими способами это можно сделать, если для передачи писем можно послать трех курьеров, и каждое письмо можно дать любому из курьеров (курьер сам решает, в каком порядке доставлять письма)?

Решение: 3⁶ = 729 способов.

Ответ: 729.

Сочетания

Сочетаниями называются все возможные комбинации из n элементов по m, которые отличаются друг от друга по крайней мере хотя бы одним элементом (m и n – натуральные числа, n≥m) и вычисляются по формуле: =  .

Пример 12. В русском языке 9 гласных букв – а, е, ё, и, о, у, э, ю, я. Из них надо выбрать две буквы. Сколькими способами это можно сделать?

Решение: нам не важно, какие это будут буквы, нужны только две буквы, поэтому получаем, что каждая пара букв в произведении повторяется два раза. Поэтому ответом этой задачи будет Или без учета порядка можно воспользоваться формулой сочетания:

Ответ: 36 способами.

Сочетания с повторениями

Пример 13. В кондитерском магазине продавались пирожные 4 видов: корзиночки, наполеоны, песочные и эклеры. Сколькими способами можно купить 7 пирожных?

Решение: зашифруем каждую покупку с помощью единиц и палочек. Сначала напишем столько единиц, сколько куплено корзиночек. Потом, чтобы отделить корзиночки от наполеонов, поставим палочку, а затем – столько единиц, сколько куплено наполеонов. Далее снова поставим палочку (если не было куплено ни одного наполеона, то в записи появляется подряд две палочки). Далее напишем столько единиц, сколько куплено песочных пирожных, снова поставим палочку и, наконец, напишем столько единиц, сколько куплено эклеров.

Например, если куплено 3 корзиночки, 1 наполеон, 2 песочных и 1 эклер, то получим такую запись: 111 | 1 | 11 | 1. Если же куплено 2 корзиночки и 5 песочных, то получится запись 11 | | 11111 |. Ясно, что разным покупкам соответствуют при этом разные комбинации из 7 единиц и 3 палочек.

Таким образом, число различных покупок равно числу перестановок с повторениями, которые можно составить из 7 единиц и 3 палочек. способами.

Ответ: 120.

Итак, имеются предметы n различных типов. Сколькими способами можно сделать из них комбинацию из k элементов, если не принимать во внимание порядок элементов в комбинации, при этом предметы одного типа могут повторяться? Иными слова, различные комбинации должны отличаться количеством предметов хотя бы одного типа.

Такие комбинации называют сочетаниями с повторениями из n элементов по k, а их число обозначают и вычисляют с помощью формулы

Пример 14. В почтовом отделении продаются открытки 10 видов. Сколькими способами можно купить в нем 12 открыток?

Решение: имеются n=10 видов открыток. Надо купить k=12 открыток. Значит,

Ответ: 314925 способами.

Занятие 2. Случайные события и вероятность

Основные понятия

Предмет теории вероятностей – построение и исследование математических моделей случайных явлений и процессов, наблюдаемых в статистических экспериментах. Наиболее распространенные классы (или типы) математических моделей, исследуемые теорией вероятностей, – случайные события, случайные величины, системы случайных величин, случайные процессы.

Центральным, важнейшим понятием теории вероятностей выступает понятие вероятности. Изложение элементов теории вероятностей обычно начинается с упоминания о случайных событиях, об опытах и их исходах.

Опыт (эксперимент) заключается в наблюдении за объектами или явлениями в строго определенных условиях и измерении значений заранее определенных признаков этих объектов (явлений). Опыт называют статистическим, если он может быть повторен в практически неизменных условиях неограниченное число раз.

Исходом опыта называют значение наблюдаемого признака, непосредственно полученное по окончании эксперимента. Каждый опыт заканчивается одним и только одним исходом.

Событием, наблюдаемым в эксперименте, называют появление исхода, обладающего заранее указанным свойством. Поскольку таким свойством могут обладать несколько исходов, то одно и то же событие может появиться при разных исходах эксперимента, а при других исходах событие не появится.

Случайным называется событие, которое может произойти или не произойти в результате некоторого испытания (опыта). События обычно обозначаются заглавными буквами латинского алфавита А, В, С и так далее.

Пример 1. Какие предсказания могут сделать при бросании игрального кубика? Например, такие:

• • произойдет событие А – выпадет цифра 1, 2, 3, 4, 5 или 6;
  • произойдет событие В – выпадет цифра 7, 8 или 9;
  • произойдет событие С – выпадет цифра 1.

Событие А, предсказанное в первом случае, обязательно наступит. Событие, которое в этом опыте обязательно наступит, называют достоверным событием.

Событие В, предсказанное во втором случае, никогда не наступит, это просто невозможно. Событие, которое в опыте наступить не может, называется невозможным событием.

Событие С, которое в этом случае может как наступить, так и не наступить, называется случайным событием.

События А и В называются несовместными, если в результате опыта появление одного из них исключает появление другого.

Пример 2. Бросается монета. Появление решки исключает появление герба и наоборот. Поэтому события «появление решки» и «появление герба» – несовместимые события.

События А и В называются совместными, если в результате испытания появление одного из них не исключает появление другого.

Пример 3. В класс вошел человек. События «в класс вошел человек 15 лет» и «в класс вошел юноша» – совместные, поскольку в класс может войти юноша 15 лет. Два события А и  называются противоположными или взаимно дополнительными, если непоявление одного из них в результате опыта влечет появление другого.

А и  – несовместны.

Пример 4. Если при проверке оказалось, что некоторое изделие имеет дефект, то это изделие не может быть стандартным, и наоборот. «Изделие бракованное» и «изделие стандартное» – противоположные события.

Пример 5. Событию «все ученики изучают алгебру и геометрию» противоположным является «хотя бы один ученик не изучает алгебру и геометрию». Соотношения и связи представимы с помощью диаграмм Эйлера.

Объединение событий

Объединение событий А∪В наступает, если наступает хотя бы одно из событий А и В.

Рис. 1

Пример 6. Событию А благоприятствуют 7 элементарных событий, а событию В – 9 элементарных событий. Из этих 9 событий 5 событий благоприятствуют сразу двум событиям. Нарисуйте диаграмму Эйлера и ответьте на вопросы:

1. Сколько элементарных событий благоприятствуют событию А, но не благоприятствуют событию В?
2. Сколько элементарных событий благоприятствуют событию В, но не благоприятствуют событию А?
3. Сколько элементарных событий благоприятствуют событию А∪В?

Решение: диаграмма Эйлера соответствует рисунку 1.

Ответ: а) 2; б) 4; в) 11.

Пересечение событий

Элементарное событие, благоприятствующее и событию А, и событию В, называют пересечением событий А∩В.

Если события А и В не имеют общих благоприятствующих элементарных событий, то они не могут наступить одновременно в ходе одного и того же опыта. Такие события называют несовместимыми, а их пересечение – пустое событие.

Вероятность пересечения несовместных событий равна нулю: Р(А∩В) = Р(∅) = 0.

Рис. 2

Пример 7. В ходе некоторого опыта событию А благоприятствуют 7 элементарных событий, событию В – 9 элементарных событий. При этом 2 события благоприятствуют событию А∩В. Сколько элементарных событий благоприятствуют событию:

• • «событие А наступает, а В – нет»;
  • «событие В наступает, а А – нет».

Нарисуйте диаграмму Эйлера.

Решение: диаграмма Эйлера соответствует рисунку 2.

Ответ: а) 5; б) 7.

Операции над событиями

Суммой нескольких событий называется событие, состоящее в наступлении хотя бы одного из них в результате испытания. И обозначается «+». Сумма событий А и В: А+В.

Пример 8. Турист хочет и имеет возможность посетить три города. Обозначим события: А – «турист посетил город А», В – «турист посетил город В», С – «турист посетил город С». Событие А+С заключается в том, что турист посетил только один из городов А и С или он посетил их оба.

Произведением нескольких событий называется событие, состоящее в совместном наступлении всех этих событий в результате испытания. Обозначается «·». Произведение событий А и В: А·В.

Пример 9. Пусть имеются следующие события: А – «из колоды карт вынута “дама”»; В – «из колоды карт вынута карта пиковой масти». Очевидно, А·В есть событие «вынута дама пик».

Пример 10. Бросается игральный кубик, исходами которого могу быть события: одно очко – А₁, два очка – А₂, три очка – А₃, четыре очка – А₄, пять очков – А₅, шесть очков – А₆.

Выделим следующие возможные события: В – «число очков меньше 4»; С – «число выпавших очков больше 2»; D – «число выпавших очков четно».

Событию В благоприятствуют исходы А₁, А₂, А₃.

Событию С – исходы А₃, А₄, А₅, А₆.

Событию D – исходы А₂, А₄, А₆.

Произведением событий В и С является событие А₃, т. е. В·С= А₃.

События А₃ и D несовместны, так как число 3 не является четным. Поэтому событие А₃D=BCD является невозможным.

Событию  BD благоприятствует А₂, событию CD – события А₄, А₆.

Пример 11.  В ящике четыре детали: две исправные детали a и b и две бракованные детали c и d. Из ящика наугад извлекают по одной детали, пока не обнаружат все бракованные детали. Элементарные события этого опыта записывать в виде последовательности букв.

а) Является ли cdab элементарным событием в этом опыте?

б) Какими буквами может заканчиваться запись элементарного события?

в) Выпишите все элементарные события этого опыта.

г) Сколько различных элементарных событий записывается тремя буквами?

Решение:

а) Запись не является элементарным событием.

б) Эксперимент заканчивается извлечением бракованной детали, поэтому запись элементарного события оканчивается либо на с, либо на d.

в) Все элементарные события: cd, dc, acb, adc, bad, bdc, dac, cad, dbc, cbd, abcd, abdc, bacd, badc, cabd, cdab, dabc, dbac, acbd, bcad, adbc, bdac.

г) acb, adc, bad, bdc, dac, cad, dbc, cbd. Всего 8 элементарных событий.

Пример 12. При подбрасывании монеты запись появления орла принято обозначать – О, появление решки – Р.

а) Монета подбрасывается два раза. Выпишите все элементарные события этого опыта.

б) Монета подбрасывается три раза. Выпишите все элементарные события этого опыта.

в) Во сколько раз больше число элементарных событий при трех бросаниях монеты, чем при двух бросаниях монеты?

Решение:

а) ОО, ОР, РР, РО.

б) ООО, ООР, ОРР, ОРО, РОО, РОР, РРО, РРР.

в) При двух бросаниях четыре элементарных события, при трех бросаниях – восемь элементарных событий, поэтому больше в два раза.

Классическая формула вероятности

Пусть имеется полная группа попарно несовместных и равновозможных событий. Вероятность Р(А) наступления события А вычисляется как отношение числа исходов, благоприятствующих наступлению события, к числу всех исходов испытания.

Вероятностью события А при проведении испытания называют отношение числа тех исходов М, в результате которых наступает событие А, к общему числу N равновероятных между собой исходов этого испытания (классическое определение вероятности).

Вероятность события А принято обозначать Р(А), и равна: Р(А)=.

Пример 1. Три школьника покупают по очереди воздушные шарики. Каждый из них покупает шарик одного из двух цветов: красного (К) или желтого (Ж). Выпишите элементарные события этого эксперимента. Считая, что все они равновозможные, найдите вероятность каждого из них.

Решение: все элементарные события покупки шаров: ККК, ККЖ, КЖК, КЖЖ, ЖКК, ЖЖК, ЖКЖ, ЖЖЖ. Всего 8 событий, поэтому вероятность равна .

Пример 2. Бросаются два игральных кубика. Какова вероятность того, что сумма выпавших очков равна 7?

Решение: каждый из кубиков может упасть шестью различными способами. Тогда два кубика по правилу умножения могут упасть 36 различными способами. Всевозможные способы выпадов представлены в таблице:

Для подсчета числа исходов, благоприятствующих событию А, состоящему в выпадении суммы очков, равной 7, можно увидеть из таблицы. Число благоприятствующих исходов равно  М=6. Тогда, по определению, .

Ответ:

Сочетания и размещения широко используются при вычислении классической вероятности случайных событий.

Пример 3. Из колоды в 36 карт случайным образом вытаскивают 3 карты. Какова вероятность того, что среди них нет пиковой дамы?

Решение:    P(A) .

Ответ: .

Пример 4. В урне лежат 10 белых и 11 черных шаров. Случайным образом достают 5 шаров. Какова вероятность того, что среди этих 5 шаров ровно 3 белых?

Решение: считаем шары в урне неразличимыми. Из 21 шара случайным образом производят выбор 5 шаров, причем порядок выбора не важен. Значит, существует N= способов такого выбора. Считаем все эти способы равновероятными между собой. Интересующее нас событие А наступает, когда 3 из 5 шаров – белые, а 2 оставшихся – черные. Из 10 белых шаров 3 шара можно выбрать  способами, а из 11 черных шаров 2 шара можно выбрать способами. Выбор разноцветных шаров считаем независимыми событиями. По правилу умножения получаем, что нужный нам состав можно выбрать

N(A) =  способами. Значит,

Ответ: 0,324.

Геометрическая вероятность

Геометрической вероятностью события называется отношение меры области, благоприятствующей появлению события, к мере всей области.

Пример 1. На плоскости имеется некоторая фигура F, которая содержит фигуру G. На фигуру F бросается точка, которая может оказаться в любой точке фигуры F. Какова вероятность того, что точка попадает в фигуру G, которая содержится в фигуре F?

1. Брошенная точка может попасть в любую часть фигуры F.

2. Вероятность того, что точка попадет в некоторую фигуру G внутри фигуры F, прямопропорциональна площади фигуры G. Таким образом,

Пример 2. Внутри квадрата со стороной 10 см выделен круг радиусом 2 см. Случайным образом внутри квадрата отмечается точка. Какова вероятность того, что она попадает в выделенный круг?

Решение: исходы этого эксперимента – все возможные отмечаемые точки внутри квадрата со стороной 10 см; все исходы считаются равновозможными, но количество их бесконечно велико. Событиями в таком эксперименте являются попадания отмеченной точки внутрь некоторой фигуры конечной площади, целиком лежащей внутри квадрата. Вероятности таких событий находятся по формуле геометрической вероятности.

Пусть событие А – «точка попадет в круг радиуса 2 см, лежащий внутри квадрата». Площадь круга равна S_кр = πr² = 4π, площадь квадрата S_кв = a² = 100. Вероятность попадания в круг:

Ответ:

Пример 3. Найти вероятность того, что точка, случайно выбранная из отрезка [0;1], принадлежит отрезку .

Решение: по формуле геометрической вероятности находим:

Ответ:

Пример 4. Поезд проходит мимо платформы за полминуты. В какой-то момент, совершенно случайно выглянув из своего купе в окно, пассажир увидел, что поезд идет мимо платформы. Пассажир смотрел в окно ровно 10 секунд, а затем отвернулся. Найдите вероятность того, что он видел бабушку, которая стояла ровно посередине платформы.

Решение: отсчет введем в секундах. За 0 сек. примем момент, когда пассажир поравняется с началом платформы. Тогда конец платформы он достигнет в момент 30 сек. За х обозначим момент, когда пассажир выглянул в окно. Следовательно, число х случайным образом выбирается из отрезка  . С бабушкой пассажир поравняется в момент 15 сек. Он увидел бабушку, только если он выглянул в окно не позже этого момента, но не раньше, чем за 10 сек до этого. Таким образом, нужно найти геометрическую вероятность события 5≤х≤15. По формуле находим: P(5 ≤ x ≤15) =  =  .

Ответ:

Дополнительные материалы к занятию

• Вероятность противоположного события. Сложение и произведение вероятностей (основные понятия, типовые задачи).
• Числовые характеристики дискретных случайных величин.
• Роль визуализации в процессе изучения теории вероятностей.

Занятие 3. Решение вероятностных задач разными методами

Метод «координатной прямой»

Школьную координатную прямую можно использовать в качестве модели для решения некоторых вероятностных задач. Эти задачи связаны со случайными величинами.

Пример 1. Вероятность того, что в случайный момент времени температура тела здорового человека окажется ниже, чем 36,8 °C, равна 0,87. Найдите вероятность того, что в случайный момент времени у здорового человека температура окажется 36,8 °C или выше.

Ответ: 0,13

Пример 2. Вероятность того, что новый сканер прослужит больше года, равна 0,96. Вероятность того, что он прослужит два года или больше, равна 0,87. Найдите вероятность того, что он прослужит меньше двух лет, но больше года.

Решение:

р + 0,87 =0,96

р = 0,96 -0,87

р = 0,09

Ответ: 0,09

Пример 3. Термометр измеряет комнатную температуру. Вероятность того, что температура окажется не ниже 18 °C, равна 0,78. Вероятность того, что температура не выше 23 °C, равна 0,63. Найдите вероятность того, что температура окажется в пределах от 18 до 23 °C.

Решение:

0,63 – р +р + 0,78 – р = 1

р = 1,41 – 1 = 0,41

Ответ: 0,41

Пример 4. Вероятность того, что на тестировании по физике студент А верно решит не менее 11 задач, равна 0,61. Вероятность того, что студент А решит не менее 10 задач, равна 0,69. Найдите вероятность того, что студент А решит ровно 10 задач.

Решение:

Нужно найти Р(10). События, что студент решит не менее 11 задач и что он решит ровно 10 задач несовместны. Поэтому Р(х=10) + Р(х≥11) = Р(х≥10). Следовательно, Р(х=10) = Р(х≥10)−Р(х≥11) = 0,69−0,61 = 0,08.

Ответ: 0,08.

Решение задач с помощью «диаграммы Эйлера»

Для событий произвольной природы удобно использовать графическое представление – диаграммы, круги Эйлера. Каждое событие изображается фигурой, например, кругом внутри прямоугольника. Пересечение событий – пересечение фигур, объединение событий – объединение фигур. Площадь фигуры схематично изображает вероятность соответствующего события.

Весь прямоугольник соответствует событию с единичной вероятностью, то есть прямоугольник – это все исходы эксперимента.

Пример 1. В небольшом магазине работают два продавца – Алексей и Василий. Каждый из них может быть занят с клиентом с вероятностью 0,4. При этом они могут быть заняты одновременно с вероятностью 0,3. Найдите вероятность того, что:

• занят только Алексей, а Василий свободен;
• занят только один из них, другой свободен;
• оба свободны.

Ответ: а) 0,1; б) 0,2; в) 0,5

Пример 2. В магазине стоят два платежных автомата. Каждый из них может быть неисправным с вероятностью 0,04 независимо от другого автомата. Найдите вероятность того, что ровно один автомат из двух оказался неисправен, а другой автомат работает.

Событие А – «первый автомат не исправен», событие В – «второй автомат не исправен». События независимы. Поэтому вероятность их пересечения равна 0,0016.

Событию «ровно один из двух неисправен» на диаграмме Эйлера соответствуют левая и правая лунки (закрашенные части). Следовательно, 0,0384*2=0,0768.

Ответ: 0,0768

Решение задач с помощью «дерева вероятностей»

Задачи, решаемые с помощью диаграмм Эйлера, решаются с помощью дерева. Сумма вероятностей на всех ребрах, выходящих из общей вершины дерева, всегда равна единице.

Пример 1. На фабрике керамической посуды 10% произведенных тарелок имеют дефект. При контроле качества продукции выявляется 80% дефектных тарелок. Остальные тарелки поступают в продажу. Найдите вероятность того, что произведенная тарелка попадет в продажу.

Решение:

Событию «тарелка попала в продажу» благоприятствуют цепочки SG и SDB. Вероятность равна 0,9+0,1·0,2=0,92.

Ответ: 0,92

Пример 2. Две фабрики выпускают одинаковые стекла для автомобильных фар. Первая фабрика выпускает 70% этих стекол, вторая – 30%. Среди стекол, выпущенных на первой фабрике, 4% бракованные, а на второй – 2% бракованные. Найдите вероятность того, что случайно купленное в магазине стекло окажется бракованным.

Решение:

Событию D=«бракованное стекло» благоприятствуют цепочки SAD и SBD. Вероятность равна 0,7·0,04+0,3·0,02=0,034.

Ответ: 0,034

Пример 3. Чтобы пройти в следующий круг соревнований, футбольной команде нужно набрать хотя бы 4 очка в двух играх. Если команда выигрывает, она получает 3 очка, в случае ничьей – 1 очко, если проигрывает – 0 очков. Найдите вероятность того, что команде удастся выйти в следующий круг соревнований. Считайте, что в каждой игре вероятности выигрыша и проигрыша одинаковы и равны 0,4.

Решение:

Команде нужно либо 2 победы, либо победа и ничья. Поэтому, событию А=«хотя бы четыре очка» благоприятствуют цепочки SWW, SWD и SDW. Поэтому P(A)=P(SWW)+P(SWD)+P(SDW)=0,4·0,4+0,4·0,2+0,2·0,4=0,32.

Ответ: 0,32.

Дополнительный материал к занятию

• Как решать задачи с помощью диаграмм Эйлера-Венна.

Занятие 4. Случайные величины и их характеристики 

Основные понятия

Случайная величина – это величина, значение которой зависит от того, каким элементарным событием закончился конкретный случайный опыт. Случайная величина – это величина, значение которой зависит от случая.

Пример 1. Предположим, что кидают кубик. Случайной величиной Х будем считать число выпавших очков. То есть Х принимает значения из множества {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Пример 2. Число бракованных деталей из 100 одинаковых деталей, взятых на контроль, – случайная величина.

Случайные величины могут быть дискретными и непрерывными.

Дискретной называют такую случайную величину, которая принимает счетное множество значений, то есть такое множество, элементы которого можно подсчитать.

Пример 3. Количество студентов на лекции, число новорожденных за сутки и т. д.

Непрерывной называют такую случайную величину, которая может принимать любые значения в определенном интервале. Занумеровать все значения величины, попадающие даже в узкий интервал, принципиально невозможно. Эти значения образуют несчетное бесконечное множество.

Пример 4. Температура пациента за определенный промежуток времени, объем утечки воды из водопровода и т. д.

Распределение дискретных и непрерывных случайных величин

Чтобы полностью описать случайную величину Х, надо указать, с какими вероятностями она принимает эти значения.

Распределением (законом распределения) случайной величины называется всякое соотношение между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями.

Распределение дискретной случайной величины может быть задано в виде таблицы, в графическом и аналитическом виде.

Пусть дискретная случайная величина Х принимает значения Х=х₁, Х=х₂, …, Х=х_n.

Обозначим вероятности этих событий соответственно:

P(Х=х₁) = p₁, P(Х=х₂) = p₂, …,P(Х=х_n) = p_n.

Таблица, содержащая возможные значения случайной величины и соответствующие вероятности, – простейшая форма и задания распределения дискретной случайной величины:

Эти случайные события образуют полную группу событий:

Пример 5. Представим распределение вероятностей случайной величины Х, равную сумме выпавших очков при двукратном бросании одинаковых игральных кубиков, таблицей.

Диаграмма распределения случайной величины Х:

Пример 6. Правильную монету бросают четыре раза. Случайная величина Х – число выпавших орлов. Составьте распределение случайной величины Х.

Решение: Могут быть случаи 0, 1, 2, 3, 4 выпада орлов. Вероятности выпадения соответственно равны Распределение случайной величины .

Характеристики случайных величин

Математическое ожидание характеризует положение случайной величины на числовой оси, определяя некоторое среднее значение, около которого сосредоточены все возможные значения случайной величины.

Математическое ожидание дискретной случайной величины равно сумме произведений всех возможных её значений на соответствующие вероятности:

Пример 7. Найти математическое ожидание числа очков, выпадающих при бросании правильной игральной кости.

Решение: распределение Х – случайной величины.

Значит, математическое ожидание равно

Ответ: 3,5

Пример 8. Найти математическое ожидание дискретной случайной величины Х, зная закон её распределения.

Дисперсия характеризует расстояние (отклонение) случайной величины относительно математического ожидания. Математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины Х от её математического ожидания Е(Х) называют дисперсией случайной величины Х и обозначают D(X),Для дискретных случайных величин эту формулу можно записать в следующем виде:  .

Чем меньше дисперсия, тем более кучно значения случайной величины группируются около математического ожидания Е(Х). Если D(X)=0, то случайная величина Х принимает единственное значение. В таком случае говорят, что случайная величина постоянна. Дисперсия измеряется не в тех единицах, что сама случайная величина. Например, если случайная величина Х – расстояние, то она измеряется в метрах. В этом случае дисперсия будет измеряться в квадратных метрах. Поэтому вместо дисперсии часто используется мера рассеивания, которая называется средним квадратичным или стандартным отклонением и равна арифметическому квадратному корню из дисперсии.

Среднее квадратичное отклонение дает представление о размахе колебаний случайной величины около математического ожидания

Свойства дисперсии

Свойство 1. Дисперсия постоянной величины равна 0.

Свойство 2. Пусть Х – случайная величина. Рассмотрим случайную величину Y=aX, где a – некоторое число. При умножении случайной величины на постоянную a дисперсия умножается на а².

Свойство 3. Пусть Х – случайная величина. Рассмотрим случайную величину Y=X+a, где a – некоторое число. При сдвиге случайной величины на постоянную a дисперсия не меняется.

Пример 10. Случайная величина задана следующим рядом распределения:

Найти математическое ожидание и дисперсию этой величины.

Решение: для нахождения математического ожидания воспользуемся формулой , а для дисперсии – формулой. Результаты вычисления сведем в таблицу:

Из таблицы видно, что математическое ожидание Е(Х)=0,7; D(X)=0,81.

Пример 11. Дисперсия случайной величины Х равна 3. Найдите D(Y), где: а) Y=3X; б) Y=X+5; в) Y=-5X-7

Решение:

а) D(Y)=3²·D(X)=9·3=27;

б) D(Y)=D(X)=3;

в) D(Y)=5²·D(X)=25·3=75.

Дополнительный материал к занятию

• Числовые характеристики дискретных случайных величин.

Модуль 4. Задачи по стохастике в ЕГЭ по математике

Занятие 1. Задачи по теории вероятностей и статистике в ЕГЭ

Преемственность экзаменационных моделей ЕГЭ

КИМ ЕГЭ 2022 г. по математике профильного уровня в значительной степени сохранили преемственность с экзаменационной моделью прошлых лет, при этом было завершено содержательное разделение экзаменов: из ЕГЭ по математике профильного уровня исключены три задания базового уровня и добавлены два задания, направленные на проверку готовности к продолжению образования в вузах – по теории вероятностей и на использование графика функций. В ЕГЭ по математике базового уровня добавлено два практико-ориентированных задания. В 2022 г., в соответствии с действующим ФГОС, впервые КИМ профильного уровня содержали два задания различного уровня сложности, проверяющих освоение курса «Вероятность и статистика»: задание 2 базового уровня и задание 10 повышенного уровня сложности.

Задание 2 предполагает понимание вероятности события как доли благоприятных элементарных событий во множестве всех равновозможных исходов случайного опыта. Задание 10 проверяет умение моделировать реальные ситуации на языке теории вероятностей и статистики, вычислять в простейших случаях вероятности событий.

КИМ ЕГЭ 2023 г. по математике сохранили преемственность с экзаменационной моделью 2022 г. в тематике, примерном содержании и уровне сложности заданий.

Рассмотрим некоторые задания ЕГЭ за последние три года по теории вероятностей и статистике, результаты выполнения которых выявляют типичные методические или предметные недостатки подготовки участников ЕГЭ.

В задачах приведены комментарии из методических рекомендаций для учителей, подготовленных на основе анализа типичных ошибок участников ЕГЭ (И. В. Ященко, И. Р. Высоцкий, А. В. Семенов).

Задачи ЕГЭ: работа над ошибками

1. Задачи ЕГЭ-2021

Задание 2 проверяет сформированность умения анализировать информацию, представленную на диаграмме, графике. Для выполнения этого задания выпускник должен находить наибольшее значение функции на заданном интервале. Ошибки, как правило, возникают из-за невнимательности при чтении условия.

Пример:

Комментарий. Типичная ошибка в выполнении задания – неверно прочитанное условие: наиболее массовый неверный ответ «11» получается, если прочитать слово «меньше» как «больше». Задание выполняется на уровне 86,1/99,3% (здесь и далее первое число – процент выполнения участниками со слабой подготовкой, второе число – процент выполнения участниками с высоким уровнем подготовки).

Больше 9% ошибочных ответов к этой задаче может быть связано только со смешиванием точного и бытового значений слова «меньше».

Работе с графиками и диаграммами уделяется много внимания, начиная с 4 класса. Как не допустить неверной трактовки слов «меньше» и «больше»? Мороз сильнее, чем , означает, что на улице температура меньше, чем , например, . Но ведь 15° мороза – это больше, чем 8° мороза, если не обратить внимания на слово «мороз», что означает меньше нуля.

Чтобы избежать путаницы, можно наряду со словами «меньше» и «больше» использовать слова «ниже» и «выше» как синонимы, подобно тому, как при обучении пользованию числовой прямой методика советует создать ассоциацию «левее – меньше», «правее – больше». Ассоциация «ниже – меньше», «выше – больше», как показывает практика, позволяет резко снизить вероятность неверной интерпретации условия.

Задание 4 проверяет сформированность понятия «вероятность случайного события» и умения находить вероятность в простейших практических ситуациях. Проблемы у участников экзамена возникают из-за вычислительных ошибок, а у слабо подготовленных участников и из-за отсутствия сформированного понятия «вероятность».

Пример 1:

Комментарий. Наиболее распространённая ошибка (1,1%) – вычислительная: при делении 3 на 60 неверно поставлена запятая. Незначительная часть участников экзамена в ответе записала вероятность противоположного события. Это говорит о несформированности понятия «вероятность» при наличии механического навыка выполнения действий: участник экзамена помнит, что нужно делить 3 на 60 или 57 на 60, но что именно нужно делить – угадывает. Задание выполняется на уровне 52,8/99,6%. Этот показатель существенно вырос по сравнению с 2014 г., когда задание на расчет вероятности впервые было включено в ЕГЭ.

Пример 2:

Комментарий. Эта задача на исчисление шансов традиционно вызывает трудности, связанные с формулировкой. Проблема здесь обычно не в математике, а в смысловом чтении. Как понять фразу «в среднем из N предметов n обладают определенным признаком»? Оборот «в среднем» значит, что в одной партии из 140 насосов течь могут 12 или 17, или даже все 140, а в другой будет другое количество. Но если взять все возможные партии по 140 насосов (x таких партий, где x – чрезвычайно большое число), то во всех них вместе окажется 14x текущих насосов, а потому вероятность того, что случайно выбранный насос подтекает, равна

Таким образом, фраза «в среднем из N предметов n обладают определенным признаком» означает, что вероятность этого признака равна  .

Встречаются задачи, где фраза звучит иначе. Например, «на 140 качественных насосов приходится в среднем 14 некачественных». Смысл тот же, но общее количество насосов в партии здесь не 140, а 140+14=154.

При подготовке к ЕГЭ и решению простейших задач по вероятности следует обращать внимание школьников на корректную интерпретацию условия, четкое нахождение общего объема совокупности, учить верно интерпретировать слова «в среднем» как указание на то, что речь идет о средней доле, то есть о вероятности некоторого признака в этой совокупности.

Пример 3:

Комментарий. Здесь типичная ситуация, когда случайный эксперимент описан: случайный выбор спортсменки, которая будет выступать первой. Элементарные исходы этого опыта – спортсменки, а всего их N = 50. Событию A «Первая гимнастка из Кореи» благоприятствуют N(A)=50-22-13=15 элементарных исходов, то есть 15 гимнасток из Кореи.

Вероятно, при подготовке к ЕГЭ не следует спешить и, разбирая такие задачи, несколько раз нужно проговорить полную последовательность рассуждений, отвечая на вопросы:

1. В чем здесь заключается случайный опыт?
2. Что является элементарным событием (исходом) в этом случайном опыте?
3. В чем состоит событие A, вероятность которого следует найти?
4. Какие элементарные события благоприятствуют событию A? Как найти их количество?

После ответов на все эти вопросы применяется формула:

2. Задачи ЕГЭ-2022

1. Задания по теории вероятностей профильного уровня

Задание 2 – простейшая задача по теории вероятностей на подсчет доли благоприятствующих элементарных событий.

Пример 1. В чемпионате по гимнастике участвуют 45 спортсменок: 6 из России, 21 из США, остальные – из Китая. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Китая.

Пример 2. На конференцию приехали ученые из трех стран: 5 из Австрии, 4 из Германии и 6 из Сербии. Каждый из них делает на конференции один доклад. Порядок докладов определяется жеребьевкой. Найдите вероятность того, что десятым окажется доклад ученого из Сербии.

Комментарий. Задания выполнило около 90% участников экзамена, что говорит об успешном освоении базовых навыков анализа простейших вероятностных моделей. Однако процент выполнения задания из примера 2 ниже. Вероятно, это объясняется тем, что в примере 1 речь идет о первой спортсменке, а в примере 2 – о десятом докладе. Здесь проявляется недоработка учителей, которые не стали объяснять, что неважно, о каком именно по счету объекте идет речь. Нужно лишь найти долю объектов, удовлетворяющих нужному условию (спортсменка из Китая или доклад из Сербии).

Задание 10. Теория вероятностей

Пример 1. Стрелок стреляет по одному разу в каждую из четырех мишеней. Вероятность попадания в мишень при каждом отдельном выстреле равна 0,6. Найдите вероятность того, что стрелок попадет в две первые мишени и не попадет в две последние.

Комментарий. Задание выполняет более двух третьих участников экзамена. Задачи по теории вероятностей, отличные от задач на простой подсчет отношений, впервые вошли в ЕГЭ. Выполнение задач этого типа на показанном уровне хорошо для группы задач, впервые вошедших в варианты экзамена. Основные причины неуспешного выполнения этих задач – неустойчивые вычислительные навыки и непонимание вероятностной сути задачи.

2. Задания по теории вероятностей базового уровня

Наряду с использованием формул, большинство из задач по теории вероятностей удобно решить графическим методом – с помощью дерева или цепи. Изображение случайного опыта по условию задачи в виде дерева – универсальный и очень наглядный способ решения самых разных задач. Более того, изучение этого метода позволит глубже разобраться в сути вероятностных моделей, а также избежать ошибок, связанных с непродуманным, формальным применением формул.

Пример 1. Стрелок стреляет по одному разу в каждую из четырех мишеней. Вероятность попадания в мишень при каждом отдельном выстреле равна 0,6. Найдите вероятность того, что стрелок попадет в две первые мишени и не попадет в две последние.

Решение. В этом случае дерево тривиально сводится к одной цепи, поскольку нас интересует только одно элементарное событие – два успеха и две неудачи подряд. Ненужные ветви дерева можно не изображать.

Каждая подписанная около ребер вероятность условная. Поскольку по условию задачи вероятности не меняются с течением времени и не зависят от предыдущих результатов стрельбы, две первые вероятности попадания (успеха) равны 0,6, а вероятности двух последующих промахов равны 0,4. Пользуясь правилом умножения, получаем: 0,6·0,6·0,4·0,4=0,0576.

Пример 2. Автоматическая линия изготавливает батарейки. Вероятность того, что готовая батарейка неисправна, равна 0,03. Перед упаковкой каждая батарейка проходит систему контроля качества. Вероятность того, что система забракует неисправную батарейку, равна 0,91. Вероятность того, что система по ошибке забракует исправную батарейку, равна 0,01. Найдите вероятность того, что случайно выбранная изготовленная батарейка будет забракована системой контроля.

Решение:

Здесь лучше изобразить полное дерево, в котором отражены события A «батарейка неисправна» и B «батарейка забракована системой контроля», что не одно и то же.

Искомая вероятность складывается из вероятностей цепей SAB и SB:

P(B)=P(SAB)+P(SB)=0,03·0,91+0,97·0,01=0,037.

Ответ: 0,037.

Этот метод исследования дерева универсален. Попутно школьникам полезно сообщить, что формула, которая получается в результате сложения вероятностей цепочек, называется формулой полной вероятности.

3. Задачи ЕГЭ-2023

Задание 3 – задача по теории вероятностей на прямое вычисление вероятности.

Пример 1. На чемпионате по прыжкам в воду выступают 25 спортсменов, среди них 10 спортсменов из Испании и 6 спортсменов из Бразилии. Порядок выступлений определяется жеребьевкой. Найдите вероятность того, что одиннадцатым будет выступать спортсмен из Испании.

Пример 2. На конференцию приехали ученые из трех стран: 9 из Португалии, 7 из Финляндии и 4 из Болгарии. Каждый из них делает на конференции один доклад. Порядок докладов определяется жеребьевкой. Найдите вероятность того, что седьмым окажется доклад ученого из Португалии.

Задание 4 – задача по теории вероятностей.

Пример 1. В коробке 6 синих, 9 красных и 10 зеленых фломастеров. Случайным образом выбирают два фломастера. Найдите вероятность того, что окажутся выбраны один синий и один красный фломастеры.

Пример 2. Стрелок стреляет по одному разу в каждую из четырех мишеней. Вероятность попадания в мишень при каждом отдельном выстреле равна 0,9. Найдите вероятность того, что стрелок попадет в три первые мишени и не попадет в последнюю.

Комментарий. Задание 3 выполнило подавляющее большинство участников экзамена, задание 4 выполнили более 70% участников экзамена, что говорит об успешном овладении выпускниками умениями анализа простейших вероятностных моделей и о готовности школы к реализации обновленного ФГОС, предусматривающего систематическое изучение вероятности и статистики в рамках специально выделенного часа с 7 по 11 класс. Типичные ошибки при выполнении задания 4 показывают важность акцента при изучении курса вероятности и статистики именно на развитие умения анализировать вероятностную модель, а не формально заучивать правила и проводить вычисления по формулам.

Задание 5 – задача по теории вероятностей базового уровня.

Пример 1. Из 500 мониторов, поступивших в продажу, в среднем 15 не работают. Какова вероятность того, что случайно выбранный монитор работает?

Пример 2. Фабрика выпускает сумки. В среднем из 150 сумок, поступивших в продажу, 3 сумки имеют скрытый дефект. Найдите вероятность того, что случайно выбранная сумка окажется без скрытого дефекта.

Комментарий. Задачу решили более половины участников экзамена базового уровня.

Дополнительные материалы к занятию

• Методические рекомендации для учителей, подготовленные на основе анализа типичных ошибок участников ЕГЭ 2023 года по математике.
• Урок по теме «Задачи на вероятность, ЕГЭ профиль».

Занятие 2. Подходы к решению задач ЕГЭ профильного уровня

Особенности задач ЕГЭ по теории вероятностей

В заданиях Единого государственного экзамена (ЕГЭ) профильного уровня до 2022 года была одна задача по теории вероятностей. В заданиях ЕГЭ 2021 года эта задача шла под номером 4 и проверяла «умение строить и исследовать простейшие математические модели». При решении следовало использовать классическое определение вероятности. Сложность этой задачи была не высокая, тем не менее, школьники допускали в ней ошибки (процент выполнения – 92,9). Разбор типичных ошибок был проведен в методических рекомендациях для учителей на основе анализа типичных ошибок участников ЕГЭ 2021 года по математике (И. В. Ященко, И. Р. Высоцкий, А. В. Семенов).

Авторы делают вывод, что проблемы, возникающие у школьников, связаны не с математикой как таковой, а с неумением анализировать текст и понимать смысл прочитанного. Так, например, многие не поняли смысла речевого оборота «в среднем». Также отмечается, что экзаменуемые не всегда могли корректно сформулировать для себя, в чем состоят случайный эксперимент и случайное событие, вероятность которого нужно найти, и не могли правильно посчитать количество благоприятствующих элементарных исходов. Применительно к задачам теории вероятностей авторы рекомендуют учителям обращать внимание школьников на корректную интерпретацию условия, не спешить при разборе задач и всегда проговаривать последовательность рассуждений:

1. В чем состоит случайный эксперимент?
2. Что является элементарным событием, каково их количество?
3. В чем состоит событие А, вероятность которого нужно определить?
4. Какие элементарные события благоприятствуют событию A? Как найти их количество?

Только после ответов на все эти вопросы можно применять формулу классической вероятности

В демонстрационном варианте в первой части стало две задачи по теории вероятностей.

Задача 2 проверяет «умение строить и исследовать простейшие математические модели». Помимо классического определения вероятности, здесь могут быть задачи, требующие знаний по темам: «Сложение вероятностей», «Умножение вероятностей» и «Независимые случайные события».

Задача 10 проверяет «умение использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни». Для решения задачи 10 может потребоваться знание более широкого круга тем. Например, помимо перечисленных, это могут быть темы «Условная вероятность», «Полная вероятность» и др. Среди задач по теории вероятностей, впервые появившихся в ЕГЭ в 2022 году, трудности могут возникнуть при решении задач на тему «Условная вероятность». Причина, как отмечено выше, – несформированность у школьников навыка анализа текста. Здесь уже не всегда достаточно ответить себе на четыре перечисленных выше вопроса, нужно еще и представить сюжетную линию задачи.

Подходы к решению задач

На примере двух задач рассмотрим разные подходы к решению.

Задача 1. На фабрике керамической посуды 10% произведенных тарелок имеют дефект. При контроле качества продукции выявляется 80% дефектных тарелок. Остальные тарелки поступают в продажу. Найдите вероятность того, что случайно выбранная при покупке тарелка не имеет дефектов. Результат округлите до тысячных.

Решение 1. Отметим, что при решении задач теории вероятностей удобнее перевести проценты в числовое представление. Воспользуемся классическим определением вероятности, ответив на вопросы 1-4.

1. Случайный эксперимент – это случайный выбор тарелки.
2. Элементарное событие – выбор одной тарелки; количество элементарных событий – количество тарелок, поступивших в продажу.
3. Событие, вероятность которого нужно определить, – «Выбранная тарелка не имеет дефектов».
4. Количество благоприятствующих элементарных событий равно количеству бездефектных тарелок, поступивших в продажу.

Предположим, что фабрика произвела партию тарелок количеством n, из которых бездефектных 0,9·n и дефектных 0,1·n. Контроль качества выявит 0,8·(0,1·n)=0,08·n тарелок с дефектами. В продажу поступят все 0,9⋅n бездефектных тарелок и оставшиеся после контроля (1-0,8)·(0,1·n)=0,02·n дефектных тарелок. Вероятность выбрать бездефектную тарелку равна:

Округляя до тысячных, получаем 0,978.

Решение 2. Рассмотрим другой способ решения задачи – с помощью формулы Байеса. Этот метод применим в том случае, когда в некотором опыте можно рассмотреть группу событий   H₁, H₂, …, Hn, таких, что при любом исходе произойдет ровно одно из этих событий (то есть обязательно произойдет одно из них, и только одно). Это значит, что сумма вероятностей всех таких событий (они называются гипотезами) равна 1. В данной конкретной задаче гипотезы и вероятности гипотез:

H₁ – «Тарелка без дефекта», P(H₁)=0,9;

H₂ – «Тарелка c дефектом», P(H₂)=0,1.

Пусть событие A – «Тарелка попала в продажу». Тогда условные вероятности:

– вероятность события «Тарелка поступила в продажу при условии, что она без дефекта»;

– вероятность события «Тарелка поступила в продажу при условии, что она с дефектом».

Полная вероятность события A вычисляется по формуле:

Наглядно иллюстрирует эту формулу диаграмма Эйлера-Венна:

В задаче необходимо найти условную вероятность P_A(H₁) гипотезы H₁ при условии, что произошло событие A, или, формулируя словесно, найти вероятность события «Выбранная тарелка, поступившая в продажу, была из множества тарелок без дефектов». По формуле Байеса

Округляя до тысячных, получаем 0,978.

Для большей наглядности задачу можно проиллюстрировать с помощью схемы, называемой дендрограммой. Возле стрелок поставлены вероятности соответствующих событий.

Дендрограмма (древовидная схема) задачи 1

Задача 2. При подозрении на наличие некоторого заболевания пациента отправляют на ПЦР-тест. Если заболевание действительно есть, то тест подтверждает его в 86% случаев. Если заболевания нет, то тест выявляет отсутствие заболевания в среднем в 94% случаев. Известно, что в среднем тест оказывается положительным у 10% пациентов, направленных на тестирование. При обследовании некоторого пациента врач направил его на ПЦР-тест, который оказался положительным. Какова вероятность того, что пациент действительно имеет это заболевание?

Решение 1. Воспользуемся классическим определением вероятности:

1. Случайный эксперимент – пациент проходит ПЦР-тест.
2. Элементарное событие – пациент с положительным тестом; количество элементарных событий – количество пациентов с положительным тестом.
3. Событие, вероятность которого нужно определить, – «Пациент с положительным тестом имеет заболевание».
4. Количество благоприятствующих элементарных событий равно количеству пациентов с заболеванием и положительным тестом.

Предположим, что ПЦР-тест проходят n пациентов, из которых x имеют заболевание. Тогда количество пациентов с заболеванием и положительным тестом будет равно 0,86⋅x; количество пациентов без заболевания, но с положительным тестом равно (1-0,94)·(n-x)=0,06·(n-x). Среди всех n пациентов тест оказывается положительным у 10%, значит,

Отсюда

Значит, общее количество пациентов с заболеванием 0,05⋅n, а количество пациентов и с заболеванием, и с положительным тестом 0,86·0,05⋅n. Вероятность, что пациент с положительным тестом имеет заболевание, равна:

Решение 2. Разберем решение с помощью формулы Байеса. Вероятности гипотез неизвестны:

H₁ – «Пациент имеет заболевание»; P(H₁) = x;

H₂ – «Пациент не имеет заболевания», P(H₂) = 1-x.

Пусть событие A – «Тест положительный». Тогда условные вероятности:

 – вероятность события «Тест положительный, при условии, что пациент имеет заболевание»;

 – вероятность события «Тест положительный, при условии, что пациент не имеет заболевания».

Полная вероятность события A известна из условия. У 10% всех пациентов тест дает положительный результат. Тогда:

Решая это уравнение относительно x, находим, что

В задаче необходимо найти условную вероятность P_А(H₁) гипотезы H₁ при условии, что произошло событие A, или, формулируя словесно, найти вероятность события «При условии, что тест оказался положительным, пациент из числа тех, кто имеет заболевание». По формуле Байеса

Дендрограмма для этой задачи:

Дендрограмма (древовидная схема) задачи 2

Можно сделать вывод, что для решения задач представленных двух типов при сдаче ЕГЭ экзаменуемому не обязательно иметь специфические углубленные знания по теории вероятностей, в частности, знание формул Байеса и полной вероятности. Элементарная логика рассуждений, грамотный анализ текста задачи и отчетливое представление сюжетной линии задачи позволяют получить решение с помощью одной только формулы классической вероятности событий. Знание же указанных формул иногда может помочь ускорить процесс вычислений и сэкономить время.